4ème N1 "Invention" de l'opération de soustraction de nombres relatifs (episode 3)
En suivant la logique de ce que nous connaissons des opérations sur les nombres positifs, nous allons inventer les règles de calculs pour les opérations sur les nombres relatifs.
Soustraction:
Compléter en allant de gauche à droite:
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
| - | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| = |
Nous savons déjà compléter ce tableau jusqu'à 5-5.
On remarque que d'une case à celle sur sa droite on diminue systématiquement de 1.
Cela nous permet de compléter le tableau jusqu'au bout en suivant cette logique.
Au final, on comprends assez naturellement que:
toutes les soustractions avec des nombres positifs sont désormais possibles, quitte à leur donner un résultat négatif.
Compléter en allant de gauche à droite:
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
| - | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
| = |
Avec la règle précédente, on peut compléter le tableau jusqu'à 2-0.
On remarque que d'une case à celle sur sa droite on augmente systématiquement de 1.
Cela nous permet de compléter le tableau jusqu'au bout en suivant cette logique.
Au final, on remarque que soustraire -1 revient à ajouter 1, que soustraire -2 revient à ajouter 2, bref que:
soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
On peut d'ailleurs vérifier que même si ce n'est pas très naturel, cela fonctionne aussi avec le premier tableau.
Avec cette méthode, il est encore cependant difficile d'envisager des soustractions du genre -5 - 1 ou -2 - (-2).
Deux possibilités s'offrent à nous:
Continuer à raisonner avec les scores d'équipes de football (comme dans l'épisode 1 de cette série) ou revenir à la base de la soustraction comme permettant de résoudre une addition à trou.
méthode 1:
Pour une équipe de football, envisager l'opération -5 - 1 revient à enlever 1 point à une équipe qui a déjà un score de -5.
De là on peut continuer à raisonner avec un tableau comme plus haut:
Compléter en commençant par le résultat de -5 - 1 :
| -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | |
| - | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
| = |
On remarque que d'une case à celle sur sa droite on augmente systématiquement de 1.
Cela nous permet de compléter le tableau vers la gauche et vers la droite en suivant cette logique.
Au final, on remarque à nouveau que dans tous les cas:
soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
méthode 2:
chaque soustraction peut être vue comme une addition à trou:
→ résoudre 1 + ? = -5 revient à calculer -5 - 1.
Avec la règle d'addition vue à l'épisode 2 de cette série d'article, on n'a d'autre choix que de trouver -6.
→ résoudre -2 + ? = -5 revient à calculer -5 - (-2).
Avec la règle d'addition vue à l'épisode 2 de cette série d'article, on n'a d'autre choix que de trouver -3.
Encore une fois, on retrouver le règle soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
En effet -5 - 1 = -5 + (-1) = -6 et -5 - (-2) = -5 + 2 = -3
Finalement, nous retiendrons:
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