(homologues: "qui se correspondent")

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a. Tous les triangles équilatéraux ont 3 angles de 60°. Donc deux triangles équilatéraux sont forcément semblables (ils ont tous les deux des angles de même mesure).

b.
Comme I est le milieu de [BC] et que ABC est équilatéral (donc que AB=AC), (AI) est la médiatrice de [BC].
On en déduit que \((AI) \perp (BC)\) et donc \(\widehat{BIA}=90°\)

(AI) étant également un axe de symétrie de ABC, on peut dire que \(\widehat{BAI}=\widehat{IAC}\) (ils sont symétriques).
On en déduit que \(\widehat{BAI}=60° \div 2 = 30°\).

On peut faire exactement le même travail dans EFG pour montrer que \(\widehat{FKE}=90°\) et \(\widehat{FEK}=30°\).

ABI et EFK ont donc 2 angles de mêmes mesures, ils sont semblables (de même forme).

c. Tous les triangles isocèles ne sont PAS forcément semblables. Vous pouvez essayer de modifier DHJ et constater que les angles peuvent varier.

d. Par contre, vous pouvez essayer de modifier LMN, cela laissera les 3 angles à 90°, 45° et 45°. Tous les triangles isocèles rectangles sont semblables.

Preuve:
Comme ils sont rectangles, ils ont tous un angle droit (de 90°).

Comme en plus ils sont isocèles, les deux autres angles sont de même mesure. A eux deux, ils doivent faire 90° (car la somme des 3 angles vaut toujours 180°). Ils se partagent donc en parts égales ces 90° et font automatiquement 45° chacun.

Petite remarque pour ceux qui pensent à tous les cas (et c'est très bien !): on ne peut pas avoir 2 angles droits dans un triangle (c'est pour ça que j'ai souligné les "deux autres" sont de même mesure). S'il était possible d'avoir 2 angles de 90°, à eux deux ils feraient déjà 180° et il resterait 0° pour le troisième angle... On peut aussi comprendre que cela donnerait deux côtés parallèles, pas facile de fermer le triangle dans ces conditions !!!

 1. \(\widehat{BAD}=\widehat{IAD}\)  ABC et AID ont un angle en commun.

De plus,, d'après le codage, \(\widehat{ADI}=\widehat{ACB}\).

Les triangles ABC et AID ont donc 2 angles de mêmes mesures, ils sont semblables.

2. Comme ils sont semblables, leurs côtés homologues sont proportionnels (un triangle est un agrandissement à l'échelle de l'autre, ou inversement une réduction de l'autre).

Le tableau ci contre est un tableau de proportionnalité:

Pour remplir ce tableau, j'ai mis les longueurs des côtés de ABC dans la deuxième ligne et les longueurs de leur côtés homologues dans AID juste au dessus dans la première ligne.
[AI] correspond (est homologue) à [AB],
[AD] correspond à [AC],
[ID] correspond à [BC].

Le codage indique que AI vaut la moitié de AB.
Donc on peut passer de la première à la deuxième ligne en multipliant par 2.
Ou inversement on peut passer de la deuxième à la première ligne en multipliant par \(\frac{1}{2}\)  (pour prendre la moitié).

On peut déduire de ce tableau de proportionnalité que \(\frac{AI}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{ID}{BC}=\frac{1}{2}\).

3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs on obtient:

\(\frac{AI}{28\,mm}=\frac{AD}{42\,mm}=\frac{ID}{39\,mm}=\frac{1}{2}\).

On peut utiliser le produit en croix pour compléter les valeurs manquantes ou tout simplement utiliser le tableau précédent en multipliant les longueurs du grand triangle par \(\frac{1}{2}\) (ou en les divisant par 2, ce qui revient au même).

On trouve:
AI = 14 mm
AD = 21 mm
ID = 18,5 mm

1. Comme cela ressemble à l'exercice précédent, je fais un peu moins d'effort sur les notations:

Les 2 triangles ont un angle en commun (\(\widehat{A}\)) et deux angles de même mesure (ceux marqués en rose, le livre n'est pas très clair mais c'est ce qu'il fallait comprendre). Ils sont donc semblables.

2. Comme ils sont semblables, ils sont proportionnels.
Pour compléter les égalités de rapports (les égalités de proportions), il faut bien faire attention à:

• mettre tous les côtés d'un même triangle au numérateur ou au dénominateur mais ne pas changer en cours de route.
  Dans cet exemple les côtés du grand triangle "sont tous en haut".
• mettre dans une même fraction des côtés homologues (le petit côté du grand triangle avec le petit côté du petit triangle, les moyens ensemble et les grands ensemble)

Cela donne: \(\frac{AB}{AI}=\frac{AC}{AJ}=\frac{BC}{IJ}\)

3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs on obtient:

\(\frac{28 \,mm}{7 \,mm}=\frac{96 \,mm}{AJ}=\frac{BC}{30 \,mm}\)

En gardant \(\frac{28 \,mm}{7 \,mm}=\frac{96 \,mm}{AJ}\) et en appliquant le produit en croix on obtient \(AJ = 96 \times 7 \div 28 = 24\)

En gardant \(\frac{28 \,mm}{7 \,mm}=\frac{BC}{30\,mm}\) et en appliquant le produit en croix on obtient \(BC= 28 \times 30 \div 7 = 120\)

Remarque:
en observant que \(AB = 4 \times AI\), on pouvait plus rapidement trouver que:
  \(BC = 4 \times IJ = 4 \times 30 = 120\)
et \(AJ = AC \div 4 = 96 \div 4 = 24\) 

(cela correspond à l'utilisation du coefficient de proportionnalité quand on présente les longueurs dans un tableau, ou encore à appliquer une échelle d'agrandissement/réduction)

18 p222

figure geogebra

1. Le périmètre d'un carré de 6 cm de côté se calcule avec \(4 \times 6\,cm = 24\,cm\).

2. Pour obtenir un rectangle avec un périmètre de 24 cm, on peut par exemple lui donner:

• une longueur de 10 cm et une largeur de 2 cm
• une longueur de 7 cm et une largeur de 5 cm
• une longueur de 7,2 cm et une largeur de 4,8 cm
• ...

En fait, ce qu'il faut juste respecter, c'est que la somme de la longueur et de la largeur soit égale à 12 cm.
Ainsi, si on utilise la formule \(Périmètre_{rectangle}=2\times (L+l)\) on aura forcément \(2 \times 12 = 24\) !

3. Un triangle équilatéral a 3 côtés de même longueur. Donc si la somme de leurs longueurs vaut 24 cm, on obtient la longueur de chaque côté avec:

\(24\,cm \div 3 = 8\,cm\)

On peut commencer par faire un schéma de la situation et faire des essais:
Vous choisissez une valeur pour la largeur, vous ajouter 4 pour obtenir la longueur et vous vérifiez si vous avez eu de la chance (si le périmètre de ce rectangle vaut bien 24 m).

Ensuite ce n'est plus du hasard mais de la stratégie:

• si vous obtenez un périmètre trop grand, diminuez la valeur de départ et recommencez
• et si vous obtenez un périmètre trop petit... vous savez quoi faire !

Si vous voulez être vraiment efficace, rappelez vous de la méthode pour trouver rapidement un nombre entre 0 et 100 au jeu du "trop petit ou trop grand" (il faut toujours essayer le "nombre au milieu" des possibilités restantes).

Pour trouver la réponse avec une méthode d'expert (directement par calcul, sans faire d'essai), vous pouvez vous dire que:

la longueur + la largeur = la moitié de 24 = 12

puisque la longueur fait 4 de plus que la largeur, je mets ces 4 de côté et il reste 8 à partager en 2 parts égales, cela fait 4 pour la largeur et donc 8 pour la longueur.

On vérifie: \((8+4)\times 2 = 12 \times 2 = 24\)   bingo !! Nous venons de résoudre une équation en français...

C'est une espèce d'opération à trou mais avec plusieurs opérations:

\((L+l)\times 2 = 24\)    pour trouver la valeur de la parenthèse, c'est le même principe que de résoudre \(... \times 2 = 24\)

on trouve \((L+l)=12\)   mais comme on sait que la longueur mesure 4 mètres de plus que la largeur, on peut remplacer \(L \) par \(l+4\)

et du coup \((l+4 ~+l)=12\)    oui mais si c'est vrai, alors \(l+l\) valant 4 cm de moins que \(l+4 ~+l\)

on obtient \(l+l=8\)

on partage les 8 en 2 parts égales (comme dans l'explication en français) pour obtenir que \(l=4\)  (la largeur mesure 4 cm). Puis comme la longueur mesure 4 cm de plus, elle mesure 8 cm.

Si vous avez tout suivi et tout compris du premier coup, bienvenu en 4^ème !!!

Une unité d'aire = 1 carreau

1. Le polygone bleu contient 38 carreaux donc son aire est de 38 u.a.  (prononcer "38 unités d'aires").

Le polygone rouge contient 23 carreaux donc son aire est de 23 u.a.

2. La figure orange a une aire plus grande que le polygone rouge mais plus petite que le polygone bleu, donc:

\(23\, u.a. < Aire_{patatoïde}<38\, u.a.\)     (un patatoïde est une figure en forme de patate, c'est vrai !)

A nouveau, il faut comprendre qu'une aire se mesure en comptant le nombre d'unités d'aires contenues par une figure. Ici l'unité d'aire est un "petit triangle gris".

La figure 1 en contient 16 donc son aire est de 16 u.a.

L'aire de la figure 2 est 16 u.a. aussi.

L'aire de la figure 3 vaut 30 u.a.

1. Par définition, l'intérieur d'un carré d'1 cm de côté représente une unité d'aire appelée "centimètre carré" que l'on note "cm²".
La réponse est donc: l'aire de ce carré est 1cm².

2. Dans ce triangle, vous pouvez essayer de "rassembler des bouts de carreaux" pour former des carreaux entiers. Vous devriez réussir en en reconstituer 6.
L'aire du triangle est donc de 6 cm².

Nous verrons ensemble une méthode pour calculer cette valeur sans rassembler des morceaux mais plutôt en imaginant des moitiés de rectangles. Vous pouvez déjà y réfléchir puis regarder les indications que je vous ai fourni dans l'article du 2 juin.

Nous avons fait cet exercice en classe mais pour ceux qui n'étaient pas là, et en utilisant des formules ou simplement en additionnant les longueurs des côtés, on trouve:

a. \(Périmètre ~du ~carré = 4 \times 7,5\,cm = 30\,cm\)

b. \(Périmètre ~du ~rectangle = (7\,cm + 3\,cm) \times 2 = 10\, cm \times 2 = 20\,cm\)
(j'ai utilisé ma formule préférée mais on pouvait aussi faire: \((2 \times 7\,cm)+ (2 \times 3\,cm) \))

d. \(Périmètre ~du ~triangle= 3\,cm + 4 ,cm + 5\,cm = 12\,cm\)
(on additionne simplement les 3 longueurs)

c. Là il faut connaître la formule (expliquée en cours): \(Circonférence_{cercle}= 2\times \pi \times r\)

Comme ici le rayon vaut 2 cm, on calcule: \(Circonférence_{cercle}= 2\times \pi \times 2 = 4 \pi\).

On ne demande pas de valeur approchée donc le travail est fini: la circonférence (autre nom du périmètre pour un cercle) vaut \(4 \pi \,cm\)  (c'est sa valeur exacte, on ne peut pas l'écrire mieux que ça !).

Si on nous avait demandé une valeur approchée (et comme on sait que \(\pi\) est un nombre un peu plus grand que 3), on aurait pu dire que \(Circonférence_{cercle}=4\,cm \pi \approx 4\,cm \times 3 \approx 12\,cm\).
Et pour ceux qui veulent être plus précis: \(Circonférence_{cercle}=4\,cm \pi \approx 4\,cm \times 3,14 \approx 12,56\,cm\).

La figure n'est pas une figure classique (carré, rectangle, triangle, ...).
Il va falloir "décomposer son contour en morceaux mieux connus". Il comporte 4 segments dont il est facile de lire la longueur et deux demi-cercle ayant un rayon de 1cm.

Les segments mesurent ensemble 10cm.
Les 2 demi-cercles forment un seul cercle si on les rassemble et ce cercle a une circonférence de \(2\times \pi\times 1\,cm\) ce qui nous donne un résultat de \(2\pi\,cm\).

Le périmètre complet pour la figure vaut \(10\,cm + 2 \pi \,cm\)  (c'est sa valeur exacte)

Une valeur approchée (pas demandée une fois de plus) pourraient être calculée ainsi:

\(10\,cm + 2 \pi \,cm \approx 10\,cm + (2\,cm \times 3)\)

ou encore plus précisément:
\(10\,cm + 2 \pi \,cm \approx 10\,cm + (2\,cm \times 3,14)\)

et pour les maniaques:
\(10\,cm + 2 \pi \,cm \approx 10\,cm + (2\,cm \times 3,1415926535897932384626433832795‬)\)

(mais vous ne trouverez pas la valeur exacte, elle est impossible à écrire "avec une virgule")