4-3èmes G9 Formulaires sur les aires et les volumes
Rédigé par Julien Daury
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Toutes les formules d'aires découlent de celle d'un rectangle.
Calculs d'aires classiques:
- lien entre l'aire d'un rectangle et l'aire d'un parallélogramme:
A partir d'un parallélogramme et en le découpant correctement on peut obtenir un rectangle dont la longueur et la largeur correspondent à la base et la hauteur du parallélogramme.
- lien entre l'aire d'un triangle et l'aire d'un parallélogramme:
En dupliquant le triangle, en le retournant puis en le collant au triangle de départ, on obtient un parallélogramme ayant la même base et la même hauteur que ce triangle de départ. Il suffit donc de calculer l'aire du parallélogramme et de la diviser par 2.
Toutes les formules de volume découlent de celle d'un prisme.
Calculs de volumes classiques:
- lien entre volume d'un prisme, d'un cube, d'un parallélépipède rectangle, d'un cylindre:
Les cubes et les pavés sont des prismes (à base carrée et rectangulaire). Le cylindre peut également être assimilé à un prisme en considérant le disque de base comme un polygone régulier ayant une infinité de côtés (point de vue d'Archimède).
- lien entre le volume d'un prisme et d'une pyramide:
Une pyramide de même base de même hauteur q'une prisme a un volume 3 fois plus petit.
- lien entre le volume d'une pyramide et d'un cône:
même formule: \(\frac{Aire_{base} \times h}{3}\)
Résumé: pour retrouver l'ensemble des formules à connaitre en fin de 4ème, il suffit de connaitre:
- l'aire d'un rectangle: \(l \times L\)
- la formule générale du volume d'un prisme: \(Aire_{\,base} \times h\)
- aire latérale d'un prisme (ou d'un cylindre): \(P\acute erimetre_{\,base} \times h\)
sachant que:
- circonférence d'un cercle: \(2 \pi r\) ("deux pierres")
- aire d'un disque: \(\pi r^2\) ("pierre carrée")
et pour les 3èmes, on rajoute:
- aire d'une sphère: \(4 \pi r^2\)
= aire latérale du cylindre correspondant: de rayon \(r\) et de hauteur \(2r\),
d'où l'idée des carte avec "projection UTM" comme sur les GPS - volume d'une boule: \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
double du volume d'un cône de même dimension: de rayon \(r\) et de hauteur \(2r\)