3ème G8 - Comparaison du volume d'un cylindre, d'un cône et d'une boule (sablier)
Un bien étrange sablier qui permet de comprendre le rapport entre le volume d'une boule et celle d'un cylindre, notion si chère à Archimède qu'il en fit décorer son tombeau.
Rappel du volume d'un cylindre (comme pour les prismes):
\(\cal V_{cylindre} = A_{base}\times h\)
avec \(h\) la hauteur et \(r\) le rayon, cela donne: \(\cal V_{cylindre} = \pi \, r^2\times h\)
→ Le sablier est composé d'un cylindre aussi haut que large, d'une boule et d'un cône ayant le même rayon (le cylindre et le cône ont la même hauteur).
1ere image: le cylindre est plein
2ème image: on retourne le sablier
3ème image: ça coule, ça coule...
4ème image: le cylindre est vide, la boule et le cône sont remplis
Comme le cône et le cylindre on le même rayon et la même hauteur, on peut retenir que le cône a un volume qui représente \(\frac{1}{3}\) de celui du cylindre (formules vues en 4ème). On peut en déduire que le volume de la boule représente \(\frac{2}{3}\) de celui du cylindre.
Puisque \(h=2r\), cela donne:
\( \begin{align*}
\cal V_{cylindre} &= \cal A_{base}\times h \\
&= \pi \, r^2 \times 2r\\
&= 2\pi\, r^3
\end{align*}\)
et ensuite:
\( \begin{align*}
\cal V_{boule} &=\cal \frac{2}{3}\,V_{cylindre} \\
&= \frac{2}{3}\times 2\pi \, r^3\\
&= \frac{4}{3}\, \pi \, r^3
\end{align*} \)
Joli, non ?!