journal des 4èmes: lundi 26 avril 2021
Résumé de la séance:
- patron d'un cône (solution et mise en pratique)
Explications pour tracer correctement le patron d'un cône (accrochez vous !)
Je reprends l'animation de l'article du 9 avril:
La base ne pose pas vraiment de problème: un disque avec le bon rayon et c'est tout...
Pour l'autre partie, c'est bien plus délicat: c'est une portion de disque
- son rayon correspond à la longueur entre le bord de la base et le sommet (la longueur de la découpe que je conseillais dans l'emballage de la glace)
- l'arc de cercle doit avoir la même longueur que le périmètre de la base. Il faut donc adapter l'angle de la figure pour obtenir cette longueur par proportionnalité...
Suite des explications (accrochez vous !)
Pour simplifier les calculs, je vous propose de régler le rayon sur 6 et la hauteur sur 8 dans l'animation (je ne peux pas le faire moi-même puisque ce n'est pas moi qui l'ai créé).
La base dessinée en rose est facile à obtenir: c'est un disque de 6 cm de rayon.
La partie bleue est celle qui pose problème: c'est une portion de disque. (Vous pouvez essayer de découper un disque quelconque pour voir comment on forme le cône en rapprochant les deux segments de la partie bleue).
Pour construire cette partie bleue, il faut trouver:
- son rayon
- l'angle \(\beta\) (prononcer "beta", c'est une lettre grecque)
Le rayon peut se trouver en observant la vue de côté du cône. On comprend alors que Pythagore peut à nouveau nous être utile:
la longueur que l'on cherche correspond à celle de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 6 et 8 cm. Calculez donc l'hypoténuse avant de continuer la lecture !
Pour l'angle \(\beta\), il doit permettre de faire en sorte que l'arc de cercle de la partie bleue ait la même longueur que le contour de la base (le périmètre du disque rose donc).
La longueur qui nous intéresse vaut donc \(2\pi \times 6 = 12 \pi\). Celle du disque bleu s'il était complet vaudrait \(2\pi \times 10 = 20 \pi\).
Il faut donc que l'on prenne une partie du disque bleu qui représente \(\frac{12}{20}\) de son total. Simplifions \(\frac{12}{20}\) en \(\frac{6}{10}\).
Oui je sais on pourrait aussi simplifier en \(\frac{3}{5}\) ...
(vous avez peut être remarqué qu'il "suffisait" de prendre \(\frac{rayon ~de~ la~ base}{rayon~ de~ la~ partie~ bleue}\) pour trouver cette fraction ... sans passer par le calcul des circonférences)
L'angle \(\beta\) doit donc représenter \(\frac{6}{10}\) du tour complet soit \(\frac{6}{10}\) de 360°. On finit par trouver:
\(\frac{6}{10} \times 360° = 6 \times (360° \div 10) = 6 \times 36° = 216°\).
Et voilà ! Bravo si vous n'avez pas décroché !!!
→ Vous pouvez fêter ça en essayant de construire le patron d'un cône de 5cm de rayon et de 7cm de hauteur (vérifiez les résultats de vos calculs avec l'application geogebra avant de tracer et découper votre patron !)