4èmes - jeudi 30/04~lundi 04/05: patrons de pyramides et cônes
Résumé de la séance:
- patron d'une pyramide, d'un cône (solutions)
Voici quelques animations géogebra:
- une pour comprendre le principe des patrons de pyramides (base irrégulière et régulières)
- une pour obtenir une idée de calcul des côtés si on connait la hauteur désirée (et si la pyramide n'espas "penchée" !)
- et une surprenante avec une méthode sans calcul (il faut suivre !!!)
Mise en pratique:
Construction de patrons de pyramides précis:
3 p239 patron d'une pyramide inscrite dans un cube (sommets de la pyramide coïndant avec des sommets du cube)
Tout peut se construire sans calcul à partir d'un carré de 4cm de côté. Si vous tenez absolument à faire des calculs, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore dans BCG pour trouver la longueur BG (qui est égale à DB, et DG).
4 p239 patron d'une pyramide inscrite dans un cube (sommets de la pyramide coïndant avec des sommets du cube sauf un qui est le milieu d'une arête du cube)
Placer S au milieu de [HG]. Vous obtenez ainsi la face DCS (et donc les longueurs CS et DS) sans calcul. Si vous voulez absolument faire des calculs, pensez à nouveau à Monsieur Pythagore.
Pour tracer les faces BCS et ADS, tracer d'abord le carré ABCD (c'est la face de dessous du cube). Lorsque le patron est déplié, [CS] est le prolongement de [DC] et sa longueur est la même que CS (reportez la au compas !). Vous obtenez ainsi la face BCS.
Procédez de la même manière pour ADS.
Enfin pour ABS, la dernière face du patron, suivre les couleurs de l'illustration pour comprendre les égalités de longueur à respecter (couleur verte).
8 p239 représentation "en vraie grandeur" d'une face de pyramide
(peut se faire sans aucun calcul)
(en "vraie grandeur" siginifie qu'il faut les tracer en respectant les codages de longueur de la figure)
Bon, et le patron d'un cône ?
(sujet qui ne semble pas interesser le livre...)
Je reprends l'animation de l'article du 10 avril:
Pour simplifier les calculs, je vous propose de régler le rayon sur 6 et la hauteur sur 8 (je ne peux pas le faire moi-même puisque ce n'est pas moi qui ai créé cette animation).
La base dessinée en rose est facile à obtenir: c'est un disque de 6 cm de rayon.
La partie bleue est celle qui pose problème: c'est une portion de disque. (Vous pouvez essayer de découper un disque quelconque pour voir comment on forme le cône en rapprochant les deux segments de la partie bleue).
Pour construire cette partie bleue, il faut trouver:
- son rayon
- l'angle \(\beta\) (prononcer "beta", c'est une lettre grecque)
Le rayon peut se trouver en observant la vue de côté du cône. On comprend alors que Pythagore peut à nouveau nous être utile:
la longueur que l'on cherche correspond à celle de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 6 et 8 cm.
Pour l'angle \(\beta\), il doit permettre de faire en sorte que l'arc de cercle de la partie bleue ait la même longueur que le contour de la base (le périmètre du disque rose donc).
La longueur qui nous intéresse vaut donc \(2\pi \times 6 = 12 \pi\). Celle du disque bleu s'il était complet vaudrait \(2r\pi \times 10 = 20 \pi\).
Il faut donc que l'on prenne une partie du disque bleu qui représente \(\frac{12}{20}\) de son total. Simplifions \(\frac{12}{20}\) en \(\frac{6}{10}\).
Oui je sais on pourrait aussi simplifier en \(\frac{3}{5}\) ...
(vous avez peut être remarqué qu'il "suffisait" de prendre \(\frac{rayon ~de~ la~ base}{rayon~ de~ la~ partie~ bleue}\) pour trouver cette fraction ... sans passer par le calcul des circonférences)
L'angle \(\beta\) doit donc représenter \(\frac{6}{10}\) du tour complet soit \(\frac{6}{10}\) de 360°. On finit par trouver:
\(\frac{6}{10} \times 360° = 6 \times (360° \div 10) = 6 \times 36° = 216°\).
Et voilà ! Bravo si vous n'avez pas décroché !!!
→ Vous pouvez fêter ça en essayant de construire le patron d'un cône de 5cm de rayon et de 7cm de hauteur (vérifiez les résultats de vos calculs avec l'application geogebra avant de tracer et découper votre patron !)