3èmes - Lundi 4 mai ~ jeudi 7 mai (1/3): évolution en pourcentage
Résumé de la séance:
- appliquer une évolution exprimée en pourcentage en utilisant une multiplication
Pour le calcul mental, je reprends les éléments visibles sur cet article:
pourcentages à connaitre:
\(1\% = \frac{1}{100}=0,01\)
\(~ 10\% ~ = \frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1\)
\(50\% = \frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0,5\)
Calculer 1% d'une quantité revient à calculer \(\frac{1}{100}\) de cette quantité, autrement dit la diviser par 100.
Calculer 10% d'une quantité revient à calculer \(\frac{1}{10}\) de cette quantité, autrement dit la diviser par 10.
Calculer 50% d'une quantité revient à calculer \(\frac{1}{2}\) de cette quantité, autrement dit la diviser par 2.
Correction:
a. 50m augmenté de 50%
- méthode 1: calculer d'abord l'augmentation
On calcule 50% de 50m (plusieurs méthodes possibles):
- calcul mental: la moitié de 50m = 25m
- \(50\% \times 50\,m = \frac{50}{100}\times 50\,m = \frac{2500}{100}\,m = 25\,m\)
- \(50\% \times 50\,m = \frac{1}{2} \times 50\,m = \frac{50}{2}\,m = 25\,m\)
- \(50\% \times 50\,m = 0,5 \times 50\,m = 25\,m\)
On applique cette augmentation:
\(50\,m + 25\,m = 75\,m\) - calcul mental: la moitié de 50m = 25m
- méthode 2: calcul direct
Si on augment de 50%, on doit au final se retrouver avec 150% du nombre de départ.
On calcule donc directement 150% de 50m (plusieurs méthodes):- \(150\% \times 50\,m = \frac{150}{100}\times 50\,m = \frac{7500}{100}\,m = 75\,m\)
- \(150\% \times 50\,m = \frac{3}{2}\times 50\,m = \frac{750}{2}\,m = 75\,m\)
- \(150\% \times 50\,m = 1,5 \times 50\,m = 25\,m\)
Pour la suite de la correction, je vais continuer avec la méthode de calcul mental (puisque c'est le thème de l'exercice) et avec la dernière méthode proposée ci-dessus (pusique c'est celle qui m'intéresse).
b. 50kg augmenté de 30%
- calcul mental:
\(30\%~ de ~50\,kg = 3 \times ~ 10\% ~ de ~50\,kg = 3 \times 5\,kg = 15\,kg\)
puis: \(50\,kg+15\,kg = 65\,kg\) - calcul direct:
\(130\% \times 50\,kg = 1,3 \times 50\,kg = 65\,kg\)
c. 50€ augmenté de 150%
- calcul mental:
\(150\%~ de ~50\,€ = 3 \times 50\%~ de ~50\,€ = 3 \times 25\,kg = 75\,€\)
puis: \(50\,€+75\,€ = 125\,€\) - calcul direct:
\(250\% \times 50\,€ = 2,5 \times 50\,€ = 125\,€\)
remarque: 100% (quantité de départ) + 150% (d'augmentation) = 250% (par rapport à la quantité de départ)
d. 50$ diminué de 50%
- calcul mental:
\(50\%~ de ~50\,$ = 25\,$\)
puis: \(50\,$-25\,$ = 25\,$\) - calcul direct:
\(50\% \times 50\,$ = 0,5 \times 50\,$ = 25\,$\)
remarque: 100% (quantité de départ) - 50% (de baisse) = 50% (par rapport à la quantité de départ)
e. 50Mo diminué de 30%
- calcul mental:
\(30\%~ de ~50\,Mo = 3 \times ~ 10\% ~ de ~50\,Mo = 3 \times 5\,Mo = 15\,Mo\)
puis: \(50\,Mo-15\,Mo = 35\,Mo\) - calcul direct:
\(70\% \times 50\,Mo = 0,7 \times 50\,Mo = 35\,Mo\)
remarque: 100% (quantité de départ) - 30% (de baisse) = 70% (par rapport à la quantité de départ)
f. 50L diminué de 100%
- calcul mental:
\(100\%~ de ~50\,L = 50\,L\) mais est-ce vraiment utile de l'écrire...
puis: \(50\,L-50\,L = 0\,Mo\) et oui, si on enlève tout, il ne reste plus rien... - calcul direct:
\(00\% \times 50\,L = 0 \times 50\,Mo = 0\,Mo\)
Pour le calcul mental, on peut retenir:
- qu'augmenter de 50% revient à rajouter la moitié (nombre de départ plus sa moitié).
- que baisser de 50% revient à diviser par 2 (enlever la moitié).
- qu'augmenter de 100% revient à doubler (nombre de départ plus lui même).
Généralisation de la méthode directe
appelons \(x\) le nombre de départ et \(t\) le pourcentage d'évolution (t pour "taux"):
- augmenter de \(t\, \%\) revient à calculer: \( x + t\,\%~de~x = (100\%+t\,\%) \,x=(1+t\,\%) \,x\)
- baisser de \(t\, \%\) revient à calculer: \( x - t\,\%~de~x = (100\%-t\,\%) \,x=(1-t\,\%) \,x\)
A retenir:
Faire évoluer \(x\) de \(t\%\) revient à calculer: \((1+t\,\%) \,x\)
→ remarque: t est un nombre relatif, on pourra donc avoir une évolution de +50% ou de -30% par exemple
exemples repris de l'exercice corrigé plus haut:
- 50m augmenté de 50%: \((1+50\,\%) \times \,50 = (1+0,50) \times 50 = 1,5 \times 50\)
- 50Mo diminué de 30%: \((1-30\,\%) \times \,50 = (1-0,30) \times 50 = 0,7 \times 50\)
→ video d'explication disponible ici
A faire:
12 p144 faire le lien entre une évolution en pourcentage et une multiplication
15 p144 appliquer cette méthode