1.a.

La circonférence de la Terre est la circonférence d'un cercle de 6 371 km de rayon:

\(\begin{align*} \cal Circonference_{~Terre}  &= 2\pi \,r\\ &= 2\pi\times 6\,371\,km\\ &= 12\,742\pi\,km\\ &\approx 40\,030 \,km \end{align*}\)

(c'est la longueur de l'équateur)

1.b.

L'aire de la Terre est l'aire d'une sphère de rayon 6 371 km:

\(\begin{align*} \cal Aire_{~Terre} &= 4\pi\,r^2 \\ &= 4\pi\times (6\,371 \,km)^2 \\&=4\pi\,\times 40\,589\,641 \,km^2 \\&= 162\,358\,564\pi \,km^2\\ \cal Aire_{\,Terre} \\&\approx 510\,064\,472 \,km^2 \end{align*}\)

1.c

La surface des océans couvre environ 71% de cette surface donc de \(71\% ~de~ 510\,064\,472 \,km^2 = 0,71 \times 510\,064\,472 \,km^2 \approx 362\,145\,775 \,km^2 \)

2.

Le volume de la Terre est le volume d'une boule de rayon 6 371 km:

\(\begin{align*} \cal Volume_{~Terre} &= \frac{4}{3}\pi\,r^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \times (6\,371\,km)^3 \\&=\frac{4}{3}\pi\times 258\,596\,602\,811\,km^3 \\&= \frac{1\,034\,386\,411\,244}{3}\pi \,km^3\\ &\approx 1\,083\,206\,916\,846\,km^3 \end{align*}\)

Sa circonférence est comprise entre 68 et 71 cm.

1. Au minimum, la circonférence est de 68cm. Ce qui correspond à \(Circonference_{~ballon}  = 2\pi \,r = 68\,cm\).

Il suffit de résoudre cette équation pour trouver la valeur de \(r\) correspondante:

\(\begin{align*} 2\pi \,r &= 68\\ \pi \,r &= 34\\ r &= 34 \div \pi &\approx 10,8\,cm \end{align*}\)

Et au maximum, la circonférence est de 71cm. Ce qui nous amène à résoudre \(2\pi \,r = 71\,cm\).

On trouve \(r = 71 \div (2\pi) \approx 11,3\,cm\).

Donc le rayon d'un ballon de waterpolo est compris entre 10,8 et 11,3 cm.

2.

Son aire est alors comprise entre \(4\pi\times 10,8^2 ~cm^2 \) et \(4\pi\times 11,3^2 ~cm^2 \)

et son volume entre \(\frac{4}{3}\pi\times 10,8^3 ~cm^3 \)  et \(\frac{4}{3}\pi\times 10,8^3 ~cm^3 \)

Finalement:

\(1\,465,7 \,cm^2 \leq Aire_{~ballon} \leq   1\,604,6 \,cm^2   \)

et \(5\,276,7 \,cm^3 \leq Volume_{~ballon}   \leq  6\,044 \,cm^3 \) 

(cela représente une aire d'environ 2,5 feuilles A4 et un volume entre 5 et 6 L)

Le verre est un cône. La quantité de liquide contenu dans ce verre correspond à la capacité de celui-ci.

Pour le verre rempli à mi-hauteur, le piège est de croire qu'on a la moitié de la quantité du verre plein alors qu'on en a beaucoup moins !

La quantité de liquide du second verre correspond à la capacité d'un cône ayant des dimensions 2 fois plus petites: pour la hauteur mais aussi pour le rayon de sa base (proportionnalité des longueurs). Ce qui donne:

\( \cal Volume_{~verre~plein} = \frac{1}{3}~\pi\,r^2 \times h\)

\(\begin{align*} \cal Volume_{~demi-verre} &= \frac{1}{3}~ \pi \times (\frac{r}{2})^2 \times \frac{h}{2} \\ &=\frac{1}{3}~ \pi \times \frac{r^2}{2^2} \times \frac{h}{2} \\&=\frac{1}{3}~\pi \times \frac{r^2}{4} \times \frac{h}{2} \\&= \frac{1}{8} \times \frac{1}{3}~\pi\,r^2 \times h\\ &= \cal \frac{1}{8} ~Volume_{~verre~plein} \end{align*}\)

La promotion ne porte donc pas sur un demi-verre mais sur \(\frac{1}{8}\) de verre !!! Le tarif n'est donc pas si intéressant que ça (même si la publicité n'est pas mensongère: "verre rempli à mi-hauteur").