3ème Notion d'agrandissement-réduction
Les notions d'agrandissement et de réduction sont très liées aux notions de:
- triangles semblables
- proportionnalité: représentation à l'échelle
- homothétie
Le principe de l'agrandissement ou de la réduction est d'augmenter ou diminuer proportionnellement les dimensions d'un objet:
- des cartes d'un même pays sont des agrandissements ou des réductions les unes des autres
- une maquette faite à l'échelle est une réduction (plus rarement un agrandissement) d'un objet
- des triangles semblables sont des agrandissements ou des réductions les uns des autres
L'agrandissement ou la réduction d'un objet conserve:
- sa forme (les angles restent de même mesure)
exemple: toutes les cartes de France ont la même forme - les proportions (les rapports de longueurs) restent les mêmes
exemple: toutes les télévisions 16/9 ont le même rapport entre leur longueur et leur largeur (\(\frac{16}{9}\) !!!) ce qui assure que l'image ne sera pas déformée même sur des écrans de tailles différentes
Mathématiquement:
Le rapport \(k\) d'un agrandissement ou d'une réduction est donné par:
\(k= \frac{longueur~ dans~ le~ nouvel~ objet}{longueur ~correspondante~ dans~ l'objet~ de ~départ} \)
\(k\) est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs initiales aux longueurs du nouvel objet.
- Si \(0<k<1\) il s'agit d'une réduction
- Si \(k>1\) il s'agit d'un agrandissement
remarque: cela coïncide avec la définition de l'échelle d'une "représentation à l'échelle"
Propriété (3ème):
Quand le rapport d'un agrandissement ou d'une réduction est \(k\):
- les longueurs sont multipliées par \(k\)
- les aires sont multipliées par \(k^2\)
- les volumes sont multipliés par \(k^3\)
exemples:
Si on agrandit les longueurs en les multipliant par 2:
- les aires seront multipliées par 4 (\(2^2\))
- et les volumes seront multipliés par 8 (\(2^3\))
Si on réduit les longueurs en les multipliant par \(\frac{1}{2}\):
- les aires seront multipliées par \(\frac{1}{4}\) (\((\frac{1}{2})^2\))
- et les volumes seront multipliés par \(\frac{1}{8}\) (\((\frac{1}{2})^3\))