journal des 3èmes: lundi 30 et mardi 31 mars
Résumé de la séance:
- correction complétée des 45 et 46 p209 (plus complète que dans le livre)
- correction du 62 p213
- exercice pour continuer l'entrainement
Correction:
45 p209
Pour vérifier si (FM) et (RP) sont parallèles, nous allons comparer \( \frac{KF}{KR}\) et \( \frac{KM}{MP}\).
D'une part: \( \frac{KF}{KR} = \frac{3}{9} = = \frac{1}{3}\)
D'autre part \( \frac{KM}{MP} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)
Finalement \(\left \{ \begin{matrix} K, F ~et~ R~ sont~ align\acute es ~\color{Red}{dans~le~m\hat e me~ordre}~ que~ K,~M~et~P\\ et~\frac{KF}{KR} =\frac{KM}{MP} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{matrix} \right. \) donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (FM) // (RP).
46 p209
a) D'une part: \( \frac{CA}{CE} = \frac{1,4}{3,5}= \frac{14}{35}= \frac{2}{5}\) (simplification par 7)
D'autre part \( \frac{CB}{CF} = \frac{1,2}{3} = \frac{12}{30}= \frac{2}{5}\) (simplification par 6)
Finalement \(\left \{ \begin{matrix} C, A ~et~ E~ sont~ align\acute es ~\color{Red}{dans~le~m\hat e me~ordre}~ que~ C,~B~et~F\\ et~\frac{CA}{CE} =\frac{CB}{CF} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{matrix} \right. \) donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) // (EF).
b)
Comme \(\left \{ \begin{matrix} C, A ~et~ E~ sont~ align\acute es~~~~~~~~~~\\ C,~B~et~F ~sont~aussi~align\acute es\\ et~(AB) // (EF) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{matrix} \right. \)
Alors, d'après le théorème de Thalès:
\( \frac{CA}{CE} = \frac{CB}{CF} =\frac{AB}{EF} \)
On utilise \( \frac{CB}{CF} =\frac{AB}{EF} \) pour obtenir \( \frac{1,2}{3} = \frac{AB}{3,7} \)
et en conclure que: \( AB = 1,2 \times 3,7 \div 3 = 1,48\)
Donc AB = 1,48 cm
62 p213
1)
2) "Petit problème" (et je m'en excuse...), ici on est obligé d'utiliser un théorème qui n'est plus au programme...
Il y a encore peu, on apprenait que: "Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle" ou encore, écrit autrement "Si B appartient au cercle de diamètre [AC], alors ABC est rectangle en B".
Bref, nous allons partir du principe que ABC est rectangle en B et pour les mêmes raisons, que ADC est rectangle en D.
On obtient finalement que:
\(\left \{ \begin{matrix} (AB)\perp (BD)\\ (DE)\perp (BD)\\ \end{matrix} \right. \) donc \((AB)//(DE)\).
Cela ne doit pas arriver au brevet.
Mais, de manière générale, comme l'énoncé comporte "Démontrer que les droites (AB) et (DE) sons parallèles.", vous pouvez continuer l'exercice comme si vous l'aviez prouvé (même si vous n'avez pas réussi) puisqu'on vous dit clairement que c'est vrai.
3) ABC est rectangle en B
donc d'après le théorème de Pythagore:
\(AC² = AB² + BC²\)
d'où \(5² = 3,5² + BC²\)
soit \(25=12,25+BC²\) donc \(BC² = 25-12,25=12,75\)
et alors \(BC= \sqrt{12,75} \approx 3,57 \)
Finalement, BC mesure environ 3,57 cm.
4) Comme \(\left \{ \begin{matrix} B, C ~et~ D~ sont~ align\acute es~~~~~~~~~~\\ A,~C~et~E ~sont~aussi~align\acute es\\ et~(AB) // (DE) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{matrix} \right. \)
d'après le théorème de Thalès:
\( \frac{CA}{CE} = \frac{CB}{CF} =\frac{AB}{EF} \)
Soit \( \frac{5}{6} =\frac{\sqrt{12,75}}{CD} =\frac{3,5}{EF} \) (j'évite de réutiliser la valeur approchée de BC, je préfère utiliser sa valeur exacte)
On obtient \( CD = 6 \times \sqrt{12,75} \div 5 \approx 4,28 \) et \( EF = 6 \times 3,5 \div 5 = 4,2\)
A faire:
Un exercice TRES complet: 52 p211