3ème G4 Théorème de Thalès -02- Sa réciproque est fausse !!!
Normalement, lorsque la réciproque d'un théorème est vraie, on peut l'utliser "à l'envers".
Plus précisément, la réciproque d'un théorème s'obtient en inversant l'hypothèse et la conclusion.
Exemple avec le théorème de Pythagore:
théorème: Si le trangle ABC est rectangle en A alors BC² = AB² + AC².
réciproque: Si BC² = AB² + AC² alors le trangle ABC est rectangle en A.
Comme nous l'avons appris en 4ème, la réciproque du théorème de Pythagore est vraie (on peut donc l'utiliser !).
La réciproque du théorème de Thalès est fausse, comme cet article va le montrer !
La VRAIE réciproque du théorème de Thalès s'écrit:
Dans un triangle ABC,
si \( \frac{\color{Blue} {AB}}{\color{Red} {AD}}=\frac{\color{Blue} {AC}}{\color{Red} {AE}}=\frac{\color{Blue} {BC}}{\color{Red} {DE}}\) alors \( \left \{ \begin{matrix}
A, D ~et~ B~ sont~ align\acute es\\
A, E ~et~ C~ sont~ align\acute es\\
(DE) // (BC)~~~~~~~~~~~~~
\end{matrix} \right. \)
Elle est fausse. Le but de ce qu'on appelle "réciproque de Thalès" (et qu'on utilise), est de vérifier à partir de calculs si deux droites sont parallèles.
Un peu comme on vérifie q'un triangle est rectangle en faisant des calculs puis en utilisant la réciproue du théorème de Pythagore.
On souhaite donc plutôt l'utiliser comme ça:
Dans un triangle ABC,
si \( \left \{ \begin{matrix}
A, D ~et~ B~ sont~ align\acute es\\
A, E ~et~ C~ sont~ align\acute es\\
\frac{\color{Blue} {AB}}{\color{Red} {AD}}=\frac{\color{Blue} {AC}}{\color{Red} {AE}}=\frac{\color{Blue} {BC}}{\color{Red} {DE}}
\end{matrix} \right.
\) alors \( (DE) // (BC)\)
Mais même cette dernière version est fausse...
Voici pourquoi:
En résumé:
- j'ai fait en sorte que les triangles vert et bleu soient comme on s'y attend: proportionnels et avec (MN)//(BC)
- ensuite, j'ai construis le triangle vert comme le symétrique du rouge par rapport à (AB)
On obtient que:
- le triangle rouge est proportionnel au bleu (puisqu'il a les mêmes longueurs que le vert),
- que les alignements attendus sont bien respectés
- mais pourtant, on ne peut pas dire que (NM') soit parallèle à (BC) !!!
Le théorème que l'on utilisera et qu'on appelera quand même "réciproque de Thalès" (comme tout le monde...) demandera une hypothèse de plus:
que "les points soient alignés dans le même ordre".
→ Cela permet d'éviter le cas du triangle rouge !