3ème G4 Théorème de Thalès -01- explication et énoncé
Comme tous les théorèmes, le théorème de Thalès ne s'applique que dans certaines conditions (on appelle ces conditions des hypothèses). Dans son cas, il y a trois hypothèses à vérifier:
avec les noms des points de la figure ci-dessous:
- A, D et B sont alignés
- A, E et C sont alignés
- (DE) // (BC)
Ces trois hypothèses reviennent au même qu'une phrase du genre:
"Une droite parallèle au côté (BC) coupe les deux côtés (AB) et (AC) respectivement en D et en E."
Déplacez le point D, faites défiler les étapes de calcul avec les flèches du bas.
→ Ne vous contentez pas de déplacer D à l'intérieur du segment [AB], regardez ce qui se passe quand il est "au dessus" ou "en dessous".
→ Observez bien la forme de chacun des triangles et les résultats des calculs (étapes 2 et 3).
Dans la figure ci-dessus, peut importe où on place D sur la droite (AB), du moment que (ED) reste parallèle à (BC), on observe que le triangle rouge et le triangle bleu ont des côtés proportionnels.
cours de 4ème: Cela revient à dire que ces triangles sont semblables.
cours de 3ème: Cette figure revient à une homothétie de centre A dont le rapport peut se calculer grâce au coefficient de proportionnalité du tableau affiché (étape 3 des calculs).
Le théorème de Thalès s'énonce ainsi:
Dans un triangle, si une droite coupe deux côtés en deux points distincts et est parallèle au troisième côté alors les deux triangles de la figure sont proportionnels.
On l'utilisera souvent sous cette forme:
Dans un triangle ABC,
si \( \left \{ \begin{matrix}
A, D ~et~ B~ sont~ align\acute es\\
A, E ~et~ C~ sont~ align\acute es\\
(DE) // (BC)~~~~~~~~~~~~~
\end{matrix} \right. \) alors \( \frac{\color{Blue} {AB}}{\color{Red} {AD}}=\frac{\color{Blue} {AC}}{\color{Red} {AE}}=\frac{\color{Blue} {BC}}{\color{Red} {DE}} \)