23 mars 2020

3emes N6 Equation: exercice - début de correction / indices

Rédigé par Julien Daury Aucun commentaire

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Dans cet exercice, il s'agit de résoudre une équation grâce à un graphique (cartésien).
Dans un premier temps, on exprime deux périmètres en fonction de la longueur TR (appelée \(x\) dans les expressions).
Ensuite, en remplissant des tableaux de valeurs (périmètre du premier rectangle pour \(x=1\), pour \(x=2\), ... et même chose pour le périmètre du deuxième rectangle), on obtient des données que l'on peut représenter en plaçant des points dans un repère.

On se rend alors compte que:

• Plus le périmètre de TROP grandit, plus celui de CHER diminue.
  Pour \(x\)  très petit le périmètre du premier est petit alors que celui du deuxième est presque maximal. Inversement, avec \(x\) proche de (6cm) le périmètre de CHER est petit alors que c'est celui de TROP qui est maximal. On s'en rend bien compte en bougeant le point R dans l'animation géogébra.
  Les valeurs de ces périmètres peuvent donc être égales à un moment ou à un autre (on l'observera sur le graphique lorsque leurs courbes se croiseront).
• Les points qui correspondent au périmètre d'un même rectangle sont alignés sur le graphique. Il est donc judicieux de tracer une droite passant par ces points plutôt que de les reliers 2 à 2.

Figure:

Enoncé:

a) Écrire en fonction de \(x\) le périmètre \(p_1(x)\) de TROP.

Le périmètre de TROP peut s'écrire:
\(2+x+2+x\) (on additionne chaque côté) ou encore \(2 \times 2+ 2 \times x \) (2 longueurs + 2 largeurs) ou encore \(2x+4\) (expression réduite égale aux 2 autres).

b) Écrire en fonction de \(x\) le périmètre \(p_2(x)\) de CHER.

Pour le périmètre de CHER, il faut faire attention au fait que sa longueur vaut \(6-x\) !
Je vous laisse utiliser une des techniques vues pour le périmètre de TROP pour trouver vous même le périmètre de CHER.
Pensez à développer et réduire l'expression pour simplifier la suite de l'exercice !

c) Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions \(p_1\) et \(p_2\).

Remplissons un tableau de valeurs pour le périmètre de TROP (exprimé par la fonction \(p_1\)):
→ pour cela, il est bon de se demander dans un premier temps quelle est l'étendue des valeurs possibles pour \(x\) !
Ses valeurs vont de ... minimum à ... maximum.

Pour \(x=2\), on obtient un périmètre de TROP de: \(p_1(2)=2\times2+4=8\)
Pour \(x=5\), on obtient un périmètre de TROP de: \(p_1(5)=2\times5+4=14\)
Cela permet déjà de remplir deux colonnes de notre tableau:

Continuer de remplir le tableau avec quelques valeurs (ne pas oublier le minimum et le maximum puisque c'est possible dans cet exercice...).

Puis faire de même pour \(p_2\), la fonction qui permet de trouver le périmètre de CHER en fonction de \(x\).

Enfin, placez des points dans un repère (bien choisir la taille des axes et les unités à partir des valeurs minimales et maximales obtenues dans les tableaux !).
C'est une bonne idée d'utiliser des points de couleurs différentes (une couleur par fonction/rectangle).
Avec les données du tableau déjà remplies, cela donne un graphique comme celui-ci:

Lire sur le graphique la valeur de \(x\) pour laquelle les deux périmètres sont égaux.

 Vous devriez trouver deux droites qui se coupent...

Retrouver ce résultat par calcul.

 Il s'agit de résoudre le problème en résolvant une équation... Aller je vous aide:
trouver \(x\) pour que \(périmètre_1 = périmètre_2\)

Puis, même travail avec les aires (mais maintenant vous savez comment faire !):

d) Écrire en fonction de \(x\) l'aire \(\mathscr{A}_1(x)\) de TROP.

e) Écrire en fonction de \(x\), l'aire \(\mathscr{A}_2(x)\) de CHER.

f) Pour quelle valeur de \(x\), les deux aires \(\mathscr{A}_1\) et \(\mathscr{A}_2\) sont-elles égales ?