3ème G2 Découverte des rapports trigonométriques
Dans l'application geogebra suivante, un triangle ABC rectangle en B est tracé.
Consignes:
- Déplacer le point B et le point E.
- Observer ce qui se passe pour les mesures de \(AB\), de \(AC\) et de \(\widehat{ABC}\) et ce que cela implique pour le quotient \(\frac{AB}{AC}\).
→ quel influence a le fait de déplacer B pour le quotient \(\frac{AB}{AC}\) ?
→ quel influence a le fait de déplacer E pour le quotient \(\frac{AB}{AC}\) ?
On s'aperçoit que \(\frac{AB}{AC}\) ne dépend que de la mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\) mais pas de la taille du triangle. On trouvera donc la même valeur pour tous les triangles rectangles de même forme.
Comme ce rapport est caractéristique de la mesure de \(\widehat{ABC}\), on peut lui donner un nom:
ce sera le cosinus de l'angle et on le notera \(cos \widehat{ABC}\).
Une démonstration rigoureuse se fait assez facilement, en voici les grandes lignes:
Lorsque l'on déplace le point E, on obtient un nouveau triangle semblable à celui de départ (le "côté bleu" du nouveau triangle est parallèle au "côté bleu" de celui de départ, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient que ces 2 triangles sont proportionnels).
Il est donc assez naturel, que le rapport entre le côté noir et le côté rouge ne varie pas d'un triangle à l'autre (et cela se montre en manipulant les fractions égales obtenues avec le théorème de Thalès).
- En continuant de cliquer sur le bouton pour passer à l'étape suivante, on poura observer le même phénomène pour les rapports \(\frac{AB}{AC}\) et \(\frac{BC}{AB}\) qui seront appelés respectivement le sinus de \(\widehat{ABC}\) et la tangente de \(\widehat{ABC}\).