3ème N14 Arithmétique: séquence

23 septembre 2019

Rédigé par Julien Daury Aucun commentaire

Classé dans : Nombres Entiers Mots clés : 0403_N14, 2019-2020, sequence

Pêle-mêle des contenus de cours écris sur Pronote:
(le contenu peut légèrement différer d'une classe à l'autre, certain résumés de séances sont le condensé de ce qui a été fait indépendament par plusieurs classes et peuvent du coup paraitre assez long...)

Jeu de Juniper Green:

travail sur les nombres entiers:

- recherche de multiples ou de diviseurs

- découverte de nombres particuliers: les nombres premiers

ardoise:

- rappel sur les nombres relatifs (écriture, somme)

- division par zéro (! ! !): la seule opération interdite

questions de fond (sur les nombres entiers):
- nombres n'ayant aucun diviseur: il n'en existe pas (tous les nombres entiers peuvent être divisé)
→ nous avons écrit l'inverse en classe !!! Grosse erreur de ma part (je disais le contraire de ce qu'on a écrit...)

- nombres ayant une infinité de diviseur: il n'y a que 0 (il peut être divisé par n'importe quel nombre entier, sauf lui-même)

→ à l'origine de la grossière erreur:
- on ne peut pas diviser PAR 0 (c'est là dessus que je voulais insister)
- MAIS on peut toujours diviser 0 (ex: 0÷1 = 0 ; 0÷2 = 0 ; 0÷3 = 0 ; ... )

- nombres ayant un seul diviseur: il n'y a que 1 (qui n'est divisible que par lui-même)

- nombres ayant 2 diviseurs exactement (on les appelle les nombres premiers, il sont divisibles par 1 et par eux-même)

- nombres ayant plus de 2 diviseurs (tous les autres, donc ceux qui ne sont ni 1, ni premiers)

- nombres ayant un nombre impair de diviseurs (les carrés entiers, c'est à dire "ceux de la diagonale dans les tables de multiplication")
1;2;4;9;16; ... (à apprendre par cœur jusqu’à 15x15)
- nombres ayant un nombre pair de diviseurs (tous les autres, c'est à dire ni 0, ni les carrés entiers)

ardoise:

carré d'un nombre entier (jusqu'à 15x15)
ex: 15² = 15x15 = 225
racine carrée d'un nombre entier:
- soit on trouve une valeur exacte
  ex: √36 = 6 car 6² = 36
- soit on encadre la racine carrée
  ex: comme 3² = 9 et 4² = 16, on sait que √9 = 3 et √16 = 4
  et comme √9 < √10 < √16,
  on peut en conclure que 3 < √10 < 4

vérifier qu'un nombre est premier ou non:

En dehors de 0 et 1 qui sont spéciaux, tous les nombres entiers ont au moins 2 diviseurs (1 et eux-même).
Ceux qui n'en n'ont pas d'autre sont des nombres premiers, ceux qui en ont d'autres ne sont pas premiers.

exemples

5 est un nombre premier (ce n'est un multiple que de 1 et 5, autrement dit les seules multiplications de nombres entiers qui valent 5 sont 1x5 et 5x1)
9 n'est pas premier car en plus d'être un multiple de 1 et de 9, c'est également un multiple de 3

remarque: pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, nous n'avons pas besoin de faire la liste de tous ses diviseurs, il suffit d'en trouver 3...

liste des nombres premiers par la méthode du crible d’Ératosthène:

principe:

le premier nombre premier est 2

→ tous les multiples de 2 ne sont pas premiers, on les barre

le nombre suivant qui n'est pas encore barré est 3, il est premier (sinon il serait dans la table de 2)

→ tous les multiples de 3 ne sont pas premiers, on les barre

le nombre suivant qui n'est pas encore barré est 5, il est premier (sinon il serait dans la table de 2 ou de 3)

→ tous les multiples de 5 ne sont pas premiers, on les barre

etc ...

rappels:

- nombres entiers

- exemples de nombres qui ne sont pas entiers (1,2 ; 1/3 ; √2 ; ... )

technique(s) pour trouver la liste des diviseurs d'un nombre

nombre de diviseurs:

nous avons vu que:

- 0 avait une infinité de diviseurs (il est divisible par tous les nombres entiers sauf lui-même)

- 1 a un seul diviseur (lui-même)

- les autres nombres ont au moins 2 diviseurs ( 1 et eux-même )

cas spécial des carré entiers (2;4;9;16; ...)

rappel des notions vues:
nombres entiers, diviseurs et multiples, particularité de 0 et de 1 (nombre de diviseurs), cas des "nombres premiers", cas des "carrés entiers", cas général

multiples d'un nombre

calcul mental:

carrés entiers jusqu'à 15x15

racine carrée d'un nombre (calcul si c'est un nombre entier ou encadrement sinon)

astuce de la multiplication par 11
multiplication de nombres décimaux: placement de la virgule dans le résultat (travail sur les ordres de grandeur)

recherche de la liste des diviseurs d'un nombre:

méthode 1: en cherchant des produits

méthode 2: en décomposant ce nombre en produit de facteurs premiers

utiliser un critère de divisibilité pour déterminer si un nombre est divisible par un autre:
exercice en ligne

exercices en autonomie

ardoise: liste des diviseurs de 120

rappels sur les fractions:
vocabulaire: numérateur, dénominateur, simplifier une fraction, fraction irréductible

simplifier une fraction c'est trouver une autre fraction ÉGALE à la première mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits

techniques de simplification d'une fraction:

- on trouve une division à faire "en haut et en bas", puis on recommence jusqu'à ce que ce ne soit plus possible

- on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie directement

liste des nombres premiers par la méthode du crible d’Ératosthène:

principe:

le premier nombre premier est 2

→ tous les multiples de 2 ne sont pas premiers, on les barre

le nombre suivant qui n'est pas encore barré est 3, il est premier (sinon il serait dans la table de 2)

→ tous les multiples de 3 ne sont pas premiers, on les barre

le nombre suivant qui n'est pas encore barré est 5, il est premier (sinon il serait dans la table de 2 ou de 3)

→ tous les multiples de 5 ne sont pas premiers, on les barre

etc ...

simplifier une fraction:

- en identifiant directement la (ou les) division(s) à faire "en haut et en bas"
--> exercice

- en passant par la décomposition en produit de facteurs premiers ("en haut et en bas") puis simplification

- nous avons vu quelques raccourcis pour ne pas décomposer "à fond" à chaque fois (par exemple si on voit du "x20" en haut et en bas, ce n'est pas la peine de les décomposer, on les élimine directement...)

rappels sur les opérations:

- attention: pour additionner ou soustraire, il faut d'abord que les fractions soient au même dénominateur

--> exercice (une seule fraction à transformer)
--> exercice (les 2 fractions sont à transformer pour obtenir un dénominateur commun) c'est le cas le plus difficile

pas (encore) fait en classe:

- multiplier --> facile: "le haut fois le haut et le bas fois le bas", il n'est absolument pas nécessaire de mettre au même dénominateur (c'est même vivemement déconseillé !)

- diviser --> on transforme en multiplication ("diviser par un nb revient à multiplier par son inverse)

ardoise:

calculer rapidement (et sans se faire mal): 35/56 x 42/25

--> utilisation de la décomposition pour simplifier les calculs (avant même de les faire !)

utiliser la technique de décomposition en produit de facteurs premiers pour trouver:

- le PGCD de deux nombres (Plus Grand Diviseur Commun)

- le PPCM de deux nombres (Plus Petit Multiple Commun)

intérêt de connaitre le PGCD ou le PPCM pour les fractions:

- lorsque l'on veut simplifier une fraction, on doit trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
Plus on divise par un grand nombre, plus on simplifie rapidement la fraction. Simplifier par le plus grand possible (PGCD) donne directement une fraction irréductible !

- lorsque l'on veut mettre des fractions au même dénominateur (pour les comparer, les ajouter ou les soustraire), il nous faut trouver une multiple commun au deux dénominateurs.
Trouver le plus petit (PPCM) permet d'obtenir des fractions les plus simples possible.

2⁴= 2x2x2x2 = 16

petit travail sur les puissances de 2 (de tête jusqu'à 2¹⁰)

compter le nombre de mots de passe possible pour:
- un mot de passe de 3 caractères avec les lettres {a,b,c}
- un mot de passe de 4 caractères avec les lettres {a,b,c}
- un mot de passe de 8 caractères avec les lettres de l'alphabet (26 lettres)
- un mot de passe de 8 caractères avec les lettres de l'alphabet en minuscule, majuscule et les chiffres

rappel sur la notation scientifique:

ex: pour les mots de passe de 8 caractères avec 26 lettres, on trouve environ 2,088 x 10¹¹ possibilités
cela signifie 2,088 x 100 000 000 000
et s’interprète comme "environ 2 centaines de milliards"
le 10¹¹ nous donne l'ordre de grandeur du nombre ("sa taille") (1 suivi de 11 zéros, soit "centaines de milliards") et le 2,088 nous précise combien il y en a.

utilisation de la notation de puissance dans le cadre de décomposition en produit de facteurs premiers et dans la simplification de fractions
ex 39 p45 (B et C)
puis 3¹²x5²⁰ / 2⁵x3⁹x5³⁰

rappel sur la division euclidienne

ex: division euclidienne de 420 par 50:
("combien de fois y-a-t-il 50 dans 420 ? --> au maximum ?")

420 = 50 x8 +20

vocabulaire:
8 est le quotient entier de 420 par 50
20 est le reste de la division euclidienne de 420 par 50
--> le reste doit être inférieur au diviseur (sinon, c'est qu'on n'a pas trouver "le nombre maximum de fois")

Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers:
- pour trouve la liste des diviseurs communs de 2 nombres --> pas très pratique...
- le plus grand diviseur commun de 2 nombres (PGCD) --> très efficace

notion nouvelle: nombres premiers entre eux (à ne pas confondre avec nombres premiers "tout court")
deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1

autrement dit, si leur PGCD = 1

ex: 15 et 16 sont premiers entre eux (mais pourtant ce ne sont pas des nombres premiers, ni l'un ni l'autre !)

intérêt pour les fractions:
une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premier entre eux, c'est à dire quand aucune division ne peut être faite "en haut et en bas" (à part diviser par 1 ...)

remarque: lors de la correction du 6 p42, nous avons vu que 60 avait vraiment beaucoup de diviseurs pour un nombre sa taille (il en a 12)

ardoise: encadrement à l'unité près d'une racine carrée

correction: problème se résolvant en cherchant tous les diviseurs d'un nombre

cours N14: paragraphe III presque terminé