(homologues: "qui se correspondent")

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a. Tous les triangles équilatéraux ont 3 angles de 60°. Donc deux triangles équilatéraux sont forcément semblables (ils ont tous les deux des angles de même mesure).

b.
Comme I est le milieu de [BC] et que ABC est équilatéral (donc que AB=AC), (AI) est la médiatrice de [BC].
On en déduit que \((AI) \perp (BC)\) et donc \(\widehat{BIA}=90°\)

(AI) étant également un axe de symétrie de ABC, on peut dire que \(\widehat{BAI}=\widehat{IAC}\) (ils sont symétriques).
On en déduit que \(\widehat{BAI}=60° \div 2 = 30°\).

On peut faire exactement le même travail dans EFG pour montrer que \(\widehat{FKE}=90°\) et \(\widehat{FEK}=30°\).

ABI et EFK ont donc 2 angles de mêmes mesures, ils sont semblables (de même forme).

c. Tous les triangles isocèles ne sont PAS forcément semblables. Vous pouvez essayer de modifier DHJ et constater que les angles peuvent varier.

d. Par contre, vous pouvez essayer de modifier LMN, cela laissera les 3 angles à 90°, 45° et 45°. Tous les triangles isocèles rectangles sont semblables.

Preuve:
Comme ils sont rectangles, ils ont tous un angle droit (de 90°).

Comme en plus ils sont isocèles, les deux autres angles sont de même mesure. A eux deux, ils doivent faire 90° (car la somme des 3 angles vaut toujours 180°). Ils se partagent donc en parts égales ces 90° et font automatiquement 45° chacun.

Petite remarque pour ceux qui pensent à tous les cas (et c'est très bien !): on ne peut pas avoir 2 angles droits dans un triangle (c'est pour ça que j'ai souligné les "deux autres" sont de même mesure). S'il était possible d'avoir 2 angles de 90°, à eux deux ils feraient déjà 180° et il resterait 0° pour le troisième angle... On peut aussi comprendre que cela donnerait deux côtés parallèles, pas facile de fermer le triangle dans ces conditions !!!

 1. \(\widehat{BAD}=\widehat{IAD}\)  ABC et AID ont un angle en commun.

De plus,, d'après le codage, \(\widehat{ADI}=\widehat{ACB}\).

Les triangles ABC et AID ont donc 2 angles de mêmes mesures, ils sont semblables.

2. Comme ils sont semblables, leurs côtés homologues sont proportionnels (un triangle est un agrandissement à l'échelle de l'autre, ou inversement une réduction de l'autre).

Le tableau ci contre est un tableau de proportionnalité:

Pour remplir ce tableau, j'ai mis les longueurs des côtés de ABC dans la deuxième ligne et les longueurs de leur côtés homologues dans AID juste au dessus dans la première ligne.
[AI] correspond (est homologue) à [AB],
[AD] correspond à [AC],
[ID] correspond à [BC].

Le codage indique que AI vaut la moitié de AB.
Donc on peut passer de la première à la deuxième ligne en multipliant par 2.
Ou inversement on peut passer de la deuxième à la première ligne en multipliant par \(\frac{1}{2}\)  (pour prendre la moitié).

On peut déduire de ce tableau de proportionnalité que \(\frac{AI}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{ID}{BC}=\frac{1}{2}\).

3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs on obtient:

\(\frac{AI}{28\,mm}=\frac{AD}{42\,mm}=\frac{ID}{39\,mm}=\frac{1}{2}\).

On peut utiliser le produit en croix pour compléter les valeurs manquantes ou tout simplement utiliser le tableau précédent en multipliant les longueurs du grand triangle par \(\frac{1}{2}\) (ou en les divisant par 2, ce qui revient au même).

On trouve:
AI = 14 mm
AD = 21 mm
ID = 18,5 mm

1. Comme cela ressemble à l'exercice précédent, je fais un peu moins d'effort sur les notations:

Les 2 triangles ont un angle en commun (\(\widehat{A}\)) et deux angles de même mesure (ceux marqués en rose, le livre n'est pas très clair mais c'est ce qu'il fallait comprendre). Ils sont donc semblables.

2. Comme ils sont semblables, ils sont proportionnels.
Pour compléter les égalités de rapports (les égalités de proportions), il faut bien faire attention à:

• mettre tous les côtés d'un même triangle au numérateur ou au dénominateur mais ne pas changer en cours de route.
  Dans cet exemple les côtés du grand triangle "sont tous en haut".
• mettre dans une même fraction des côtés homologues (le petit côté du grand triangle avec le petit côté du petit triangle, les moyens ensemble et les grands ensemble)

Cela donne: \(\frac{AB}{AI}=\frac{AC}{AJ}=\frac{BC}{IJ}\)

3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs on obtient:

\(\frac{28 \,mm}{7 \,mm}=\frac{96 \,mm}{AJ}=\frac{BC}{30 \,mm}\)

En gardant \(\frac{28 \,mm}{7 \,mm}=\frac{96 \,mm}{AJ}\) et en appliquant le produit en croix on obtient \(AJ = 96 \times 7 \div 28 = 24\)

En gardant \(\frac{28 \,mm}{7 \,mm}=\frac{BC}{30\,mm}\) et en appliquant le produit en croix on obtient \(BC= 28 \times 30 \div 7 = 120\)

Remarque:
en observant que \(AB = 4 \times AI\), on pouvait plus rapidement trouver que:
  \(BC = 4 \times IJ = 4 \times 30 = 120\)
et \(AJ = AC \div 4 = 96 \div 4 = 24\) 

(cela correspond à l'utilisation du coefficient de proportionnalité quand on présente les longueurs dans un tableau, ou encore à appliquer une échelle d'agrandissement/réduction)

18 p222

figure geogebra