6èmes - Lundi 24 mai: proportionnalité
Résumé de la séance:
- utiliser la proportionnalité en identifiant le coefficient de proportionnalité
- notion de moyenne
- pourcentage
Le prix est proportionnel à la masse de poireaux vendus. Le coefficient de proportionnalité est : 2,30 € par kilogramme. Toutes les techniques vues sont valables. La plus directe (mais pas toujours la plus facile à calculer de tête) est de systématiquement multiplier la masse par 2,30. Je vais utiliser d'autres méthodes: 1 kg coûte 2,30 kg (d'après l'énoncé) 2 kg coûtent 2 fois plus cher que 1 kg: \(2 \times 2,30\,€= 4,60\,€\) 3 kg coûtent le prix de 1 kg + le prix de 2 kg: \(2,30\,€+4,60\,€ = 6,90\,€\) 5 kg coûtent le prix de 2 kg + le prix de 3 kg: \(4,60\,€+6,90\,€ = 11,50\,€\) 10 kg coûtent 2 fois plus cher que 5 kg: \(2 \times 11,50\,€= 23,00\,€\) Dans cet exercice nous avons comparé 2 coefficients de proportionnalité (les prix au kilo).
La quantité d'essence consommée est proportionnelle en moyenne au nombre de kilomètres parcourus.Le coefficient de proportionnalité est : 6,5 L par centaine de kilomètre.
Notion de moyenne:
Nous allons donc estimer les quantités demandées en remplissant le tableau suivant comme un tableau de proportionnalité (j'insiste: ce n'est pas réaliste mais on ne peut pas vraiment faire mieux...): On peut retrouver la quantité d'essence utilisée pour 1L avec: \(\frac{6,5\,L}{100\,km}= 0,065\,L/km\). 2) \(350\,L \times 0,065\,L/km = 22,75\,L\) Correction
20 p97: le prix des poireaux
Masse de poireaux vendus (kg)
1
2
3
5
10
Prix (€)
21 p97: qui est le moins cher ?
Les deux vendeurs ne vendent pas les mêmes quantités. Il est donc délicat de comparer leurs prix. L'idée de l'exercice est de comparer les "prix au kilogramme".
Et cela tombe plutôt bien puisque les deux tableaux présenter sont des tableaux de proportionnalité:
Pour le premier tableau on a: \(\frac{8,10\,€}{3\,kg}=\frac{13,50\,€}{5\,kg}=\frac{27\,€}{10\,kg}= 2,70\,€/kg\)
→ Robert vend toujours ses abricots à \(2,70\,€/kg\).
Pour le deuxième tableau on a: \(\frac{5,60\,€}{2\,kg}=\frac{16,80\,€}{6\,kg}=\frac{22,40\,€}{8\,kg}= 2,80\,€/kg\)
→ Géraldine vend toujours ses abricots à \(2,80\,€/kg\).
On peut donc en conclure que c'est Robert qui vend ses abricots (un peu) moins cher.
22 p97: consommation d'une voiture
En réalité, une voiture ne consomme pas tout le temps le même nombre de litres par kilomètre.
Cela dépend de beaucoup de choses: la vitesse, le poids, la route, les montées, les accélérations, le vent, etc...
C'est pour ça qu'on utilise la notion de moyenne, pour savoir "en général" quelle quantité on consomme avec cette voiture. On regarde la quantité d'essence dépensée sur un grand nombre de kilomètres puis on fait comme si il y avait proportionnalité entre ces deux grandeurs.
Le coefficient (de "proportionnalité") obtenu par \(\frac{quantité~ d'essence~ dépensée}{nombre~ de~ kilomètres~ parcourus}\) s'appelle la consommation moyenne.
On préfère la plupart du temps l'indiquer pour 100 km plutôt que pour 1, c'est pourquoi on multiplie le résultat par 100.
nombre de kilomètres parcourus (km)
100
...
350
essence utilisée (L)
6,5
78
...
C'est le coefficient de proportionnalité que nous allons utiliser.
1) \(78\,L \div 0,065\,L/km = 1\,200\,km\)
Voici deux nouvelles notions à partir de l'exercice 22 p97: Comme pour la consommation d'essence, nous allons faire un moyenne de notes. Avec des notes de 11/20, 14/20, 8/20 et 17/20 on obtient un total de \(11+14+8+17=50\) points. On dit alors que sur ces 4 évaluations, la moyenne est de 12,5/20. Le fait de faire comme si on était dans une situation de proportionnalité revient à imaginer une note qu'on aurait eu à toutes les évaluations (toujours la même) et qui donnerait le même total de points (sur le même principe qu'un prix/kg constant, qu'une consommation constante, etc...). On fait la même chose sauf qu'on cherche la proportion \(\frac{somme ~de~ tous ~les ~points ~gagnés}{maximum~ des~ points ~obtenables}\) avant de la remettre sur 20 (par exemple). Avec des notes de 12/20, 15/20, 8/10, 3/5 et 4/5 on obtient un total de \(12+15+8+3+4=42\) points
Avec ce que nous savons faire sur les fractions, nous savons que: Cours
Moyenne (de notes par exemple):
Pour cela, il faut calculer le nombre de points obtenus sur un certain nombre d'évaluations puis faire comme si le nombre de points était proportionnel au nombre d'évaluations.
Le coefficient de proportionnalité obtenu correspondra au nombre de points moyens obtenus par évaluation (comme on avait obtenu une quantité d'essence moyenne par kilomètre).
exemple 1: calcul de la moyenne sur 4 notes
Si on fait comme si le nombre total de points était proportionnel au nombre d'évaluations, on obtient un coefficient de:
\(\frac{50\,points}{4\,\acute evaluations}=12,5\,points/\acute evaluation\)
Avec 4 notes de 12,5/20, on obtient le même total de points qu'avec les 4 notes de l'exemple.
exemple 2: et si toutes les notes ne sont pas sur 20 ?
alors qu'au maximum on aurait pu obtenir \(20+20+10+5+5=60\) points.
On a donc eu \(\frac{42}{60}\).
\(\frac{42}{60}=\frac{14}{20}\) (en divisant par 3 le numérateur et le dénominateur)
\(\frac{42}{60}=\frac{7}{10}\) (en divisant par 6 le numérateur et le dénominateur)
...
On peut donc exprimer cette note moyenne sur ce que l'on veut (sur 20, sur 10, ...).
La consommation de la voiture n'était pas exprimée pour 1 km mais pour 100 km. C'est une méthode assez fréquente pour exprimer une proportion. J'ai trouvé dans un article de 2017: Cela ne veut bien évidemment pas dire qu'il n'y a que 10 français de plus de 20 ans parmi lesquels 7 portent des lunettes ni qu'il n'y a que 100 enfants en grande section parmi lesquels 18 portent des lunettes. Pour comparer ces deux proportions, il est pratique de les mettre au même dénominateur:
\(\frac{7}{10}=\frac{70}{100}\) donc "7 personnes sur 10" signifie donc "70% des gens" ("70 pour 100") \(\frac{18}{100}=\frac{1,8}{10}\) donc "18% des enfants" représente "1,8 enfants sur 10"
Pourcentage
Au lieu d'exprimer la proportion sous la forme d'une écriture décimale ou d'une fraction quelconque, on la met souvent sous la forme d'une faction sur 100. On parle alors de pourcentage.
"7 Français sur 10 de plus de 20 ans portent des lunettes de vue selon un rapport de la Direction de la Recherche, des Études, de l’Évaluation et des Statistiques (DREES), rattachée au Ministère de la santé.
18 % des enfants de grande section maternelle portent des lunettes. Tous les âges sont donc concernés."
C'est que sur un certain nombre de personnes de plus de 20 ans, on a compté ceux qui avaient des lunettes puis on a exprimée la fraction \(\frac{porteurs~ de~ lunettes}{nombre~total~de~personnes}\) comme une fraction sur 10 et même chose pour les enfants mais en convertissant la proportion en fraction sur 100.
(\(\frac{1,8}{10}\) n'est pas une fraction mais c'est bien un quotient égal à \(\frac{18}{100}\))
Donc on peut conclure qu'il y a beaucoup plus de gens qui portent des lunettes après 20 ans plutôt qu'en grande section.
1) Le premier a eu: 20; 17; 5; 3 et 10. 4) Un petit commentaire ?? 1) Vous savez déjà calculer la fraction d'une quantité et un pourcentage est une fraction sur 100 (la méthode présentée en haut de la page 98 est un peu différente de ce qu'on faisait habituellement qui correspond plutôt à celle présentée en haut de la page 78) 2) Travailler comme pour un tableau de proportionnalité: 32 p98 le club de Salomé A faire
Calculer les moyennes de 3 élèves: toutes les notes sont sur 20
2) le deuxième a eu: 6; 8; 10; 12 et 19.
3) Le troisième a eu: 11; 11; 11 ;11 et 11.
27 p98 pourcentage d'une quantité
Je vous propose 2 méthodes
pour trouver 10% de 30€, compléter:
partie
10
total
100
30
64 p101 le reste de bonbons 70 p103 qui veut des chouchous ?
facultatif: pour ceux qui en veulent plus