Bien sûr, toute méthode permettant d'obtenir le bon résultat est à conserver. Je ne mets en avant qu'une méthode par question dans cette correction.

a. \(\frac{200}{500}=\frac{800}{2000}=\frac{80}{200}\)

On peut faire plus court mais sur cet exemple, le passage de colonne en colonne me parait assez naturel (comme un travail sur des fractions égales, il suffit de multiplier ou diviser "en haut et en bas" par un même nombre).
→ \(\times 4\) puis \(\div 10\)   "en haut et en bas" 

b. \(\frac{12}{15}=\frac{12 \times 5}{15 \times 5}=\frac{60}{75}\)

même méthode

c. \(5 \times 7,8 \div 15 =2,6\)   à la calculatrice

produit en croix

mais peut se faire de tête avec la même méthode et un travail sur les fraction:
\(7,8 \times 5 \div 15 = 7,8 \times \frac{5}{15}= 7,8 \times \frac{1}{3} = 7,8 \div 3\)

d. \(\frac{11}{16}=\frac{5,5}{8}\)

→ \(\div 2\)   "en haut et en bas" 

\(\frac{125}{150}=\frac{25}{30}=\frac{50}{60}=\frac{200}{240}\)   (cheminement possible de calcul mental)

ou à la calculatrice: \(150 \times 200 \div 125\)

On trouve 240 mg de calcium pour 200 g de yahourt.

Si l'exercice nous faisait passer d'une marche de 2,5 km à une de 5km, il suffirait de multiplier le temps par 2.

Les nombres choisis n'incitent pas au calcul mental et je vais donc utiliser le produit en croix:

\(24 \times 5,2 \div 2,5 = 49,92\)

Ce résultat est en minutes. On peut donc répondre: 49,92 minutes.

On peut à nouveau utiliser toute méthode applicable à une situation de proportionnalité mais ici le passage par l'unité me semble prendre tout son sens.

\(\frac{18\,L}{4\,h}=\frac{4,5 \,L}{1\,h}\)    On perd donc 4,5 litres par heure avec cette fuite.

1.

\(1\,jour = 24\,h\)

\(1\,mois \approx 30\,jours =\, 30\times 24\,h = 720\,h\)

\(1\,an \approx  365\,jours = 365 \times 24\,h = 8\,760\,h\)

Les calculs à faire pour trouver l'eau perdue sont donc:

\(24 \times 4,5 = 108\)  pour une journée

\(720 \times 4,5 = 3\,240\)     (ou \(30 \times 108\))    pour un mois

\(8\,760 \times 4,5 = 39\,420\)     (ou \(12 \times 3\,240\)  ou \(365 \times 108\))    pour une année

2. Le prix est donné pour 1 m³.

Donc 4,15€ est le prix de 1 000 L.

→ soit vous calculez le prix de 1L, soit vous appliquez systématiquement le produit en croix.

On trouve finalement:

Comme tout le monde ne paie pas le m³ au même prix, il vaut mieux calculer la proportion sur la quantité d'eau consommée:
\(39\,420\,L = 39,42 \,m^3\)

→ si vous pensez avoir une fuite:
\(\frac{39,42\,m^3}{consommation \,annuelle} = part~ de~ la~ facture~ actuelle\)

→ si vous pensez ne pas avoir une fuite, voici l'impact qu'une fuite pourrait avoir:
\(\frac{39,42\,m^3}{consommation \,annuelle}= augmentation~ de~ la~ facture~ actuelle\)

exemples sur une consommation moyenne (trouvée rapidement sur un article sans plus de recherche, doit prendre en compte à la fois les gens ayant ou n'ayant pas de fuite) :

• pour une personne seule:
  
  \(\frac{39,42\,m^3}{60\,m^3}=0,657 = 65,7\%\) !!!
  
  
• pour une famille de 4 personnes:
  
  \(\frac{39,42\,m^3}{150\,m^3}=0,2628 = 26,28\%\)   soit quand même plus du \(\frac{1}{4}\) ...