4èmes - lundi 18 mai: proportionnalité
Résumé de la séance:
- proportionnalité: utilisation du produit en croix
1) Comme expliqué jeudi: Les fractions sont égales car elles doivent représenter la même proportion (le prix par rapport à la masse). remarque, on pourrait tout aussi bien utiliser l'égalité: \(\frac{32}{7}=\frac{120}{m}\) Autre façon de le dire: Et cela correspond aux résultats de \(32 \div 7\) et \(120 \div m\) d'où \(\frac{32}{7}=\frac{120}{m}\) 2) \(\frac{7}{32}=\frac{m}{120}\) revient à \(\frac{7 \times 120}{32 \times 120}=\frac{m \times 32}{120 \times 32}\) (fractions au même dénominateur: \(120 \times 32\)) On en déduit que \(7 \times 120 = m \times 32\) Remarque: on vient de prouver (uniquement sur un exemple) le lien entre les égalités \(\frac{7}{32}=\frac{m}{120}\) et \(7 \times 120 = m \times 32\) Autrement dit pourquoi la propriété "du produit en croix" est vraie 3) On a trouvé \(7 \times 120 = m \times 32\) autrement dit \(840 = m \times 32\) Trouver \(m\) revient à résoudre \(840 = ... \times 32\) et on peut calculer le nombre manquant avec \(840 \div 32 = 26,25\). L'objectif de la technique "de la 4ème proportionnelle" est de ne pas refaire tout le raisonnement ci-dessus mais de passer directement au dernier calcul. a. Calculons séparément: \(8 \times 9 = 72\) Comme \(6 \times 12 = 8 \times 9\), d'après la propriété du produit en croix, \(\frac{6}{8}=\frac{9}{12}\) b. Calculons séparément: \(5 \times 12 = 60\) Comme \(3 \times 20 = 5 \times 60\), d'après la propriété du produit en croix, \(\frac{3}{5}=\frac{12}{20}\) c. Calculons séparément: \(5 \times 13 = 65\) TRÈS IMPORTANT: d. Calculons séparément: \(5 \times 39 = 195\) Comme \(13 \times 15 = 5 \times 39\), d'après la propriété du produit en croix, \(\frac{13}{5}=\frac{39}{15}\) Ce dernier exemple (mais ce n'est pas le seul) montre que le produit en croix ne donne pas toujours (pas souvent !) les calculs les plus simples à faire de tête (calculer \(13 \times 15\) et \(5 \times 39\) pour montrer que \(\frac{13}{5} = \frac{39}{15}\) !!! Alors qu'une simple multiplication par 3 "en haut et en bas" suffisait... N'oubliez donc pas les autres techniques ! a. Calculons séparément: \(6,4 \times 9,6 = 51,44\) Donc \(8,2 \times 7,2 \neq 6,4 \times 9,6\), et il ne s'agit pas d'un tableau de proportionnalité. b. Calculons séparément: \(8,06 \times 15,60 = 125.736\) Donc \(6,20 \times 20,28 = 8,06 \times 15,6\), et il s'agit d'un tableau de proportionnalité. c. Calculons séparément: \(17,8 \times 97,8 = 1\,740,84\) Donc \(12,2 \times 142,2 \neq 17,8 \times 97,8\), et il ne s'agit pas d'un tableau de proportionnalité. d. Donc il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Je n'ai pas écrit les calculs séparément dans le dernier exemple... mais je n'ai pas écrit d'égalité fausse !!! → Vous pouvez gagner un peu de temps dans votre rédaction si vous êtes sûrs de ne pas écrire de bêtises (par exemple vous avez faits les calculs au brouillon avant de rédiger votre réponse). → Séparer les calculs est une (bonne) habitude qui permet d'éviter des erreurs dramatiques (un "=" faux !). a. Comme \(\frac{a}{4}=\frac{8}{5}\), la propriété du produit en croix nous permet d'affirmer que \(a \times 5 = 4 \times 8\). On obtient donc \(a \times 5 = 32\) et on en conclut que \(a = 32 \div 5 = 6,4\). b. Comme \(\frac{7}{b}=\frac{2}{3}\), \(b = 3 \times 7 \div 2 = 21 \div 2 = 10,5\). c. Comme \(\frac{11}{6}=\frac{c}{15}\), \(c = 11 \times 15 \div 6 = 165 \div 6 = 27,5\). Pour obtenir rapidement une égalité comme \(c = 11 \times 15 \div 6\): les produits "\(11 \times 15\)" et "\(6 \times c\)" sont égaux → je commence donc mon calcul par \(11\times 15\) pour connaitre la valeurs de ces produits (11 et 15 sont connus tous les deux et sont sur la même diagonale) a. \(300 \times 900 \div 500 = 270\,000 \div 500 = 540\) b. \(14 \times 22 \div 8 = 308 \div 8 = 38,5\) c. \(45 \times 51 \div 17 = 2\,295 \div 17 = 135\) d. \(18 \times 7 \div 5 = 126 \div 5 = 25,2\) Correction
activité 1p134: déterminer une quatrième proportionnelle
Le coefficient de proportionnalité du tableau s'obtient en résolvant ces multiplications à trou: \(7 \times ... = 32\) et \(m \times ... = 120\)
4) En résumé, voici les étapes de calcul pour trouver \(m\): \(m = 7 \times 120 \div 32 = 840 \div 32 = 26,25\).
C'est une des techniques les plus rapides de la proportionnalité (surtout avec une calculatrice ou un tableur), c'est pourquoi c'est souvent celle que les gens retiennent. 2 p138: vérifier si des tableaux correspondent à des situation de proportionnalité
\(6 \times 12 = 72\)
Donc il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité.
\(3 \times 20 = 60\)
Donc il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité.
\(7 \times 11 = 77\)
Donc il ne s'agit pas d'un tableau de proportionnalité.
Si on ne fait pas de calculs séparés, on risque d'écrire: \(7 \times 11 = 5 \times 13\) , autrement dit \(77 = 65\).
C'est gênant !!!
C'est pourquoi il faut bien séparer les calcul avant de conclure avec \(=\) ou \(\neq\)
\(13 \times 15 = 195\)
Donc il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité. 3 p138: vérifier si des tableaux correspondent à des situation de proportionnalité
\(8,2 \times 7,2 = 59,04\)
\(6,20 \times 20,28 = 125,736\)
\(12,2 \times 142,2 = 1\,734,84\)
\(24 \times 31,2 = 28,8 \times 26 = 748,8\)
(et non je n'exagère pas: Un "=" faux !!! Rendez-vous compte !) 4 p138: utiliser la technique de la 4ème proportionnelle
Quand on sait que \(\frac{11}{6}=\frac{c}{15}\), la propriété du produit en croix affirme que:
→ il reste ensuite à diviser par le troisème nombre connu 5 p138: utiliser la technique de la 4ème proportionnelle
A faire
6 p138 choisir une méthode adaptée pour compléter rapidement un tableau de porportionnalité
9 p139 calcium dans un yahourt
11 p139 oncle Charly
18 p139 le prix d'un robinet qui goutte
(calculer la proportion que cela pourrait représenter sur la facture réelle de vos parents !)