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4èmes - lundi 11 mai: proportionnalité

Rédigé par Julien Daury Aucun commentaire
Classé dans : CdT 4emes Mots clés : aucun

retrour au cahier de texte

Résumé de la séance:

- utilisation de la proportionnalité pour construire des diagrammes en statistiques

- rappels des techniques applicables dans une situation de proportionnalité

 

Correction:

4A, avec 1cm pour représenter 1vote:

 couleur rouge jaune bleu vert 
 vote  10 6 3 8
 taille du bâton  10 cm 6 cm 3 cm 8 cm

(pas trop méchants les calculs...)

 

4D:

 couleur rouge jaune bleu vert  TOTAL
 vote  6 3 9 6 24
proportion  \(\frac{6}{24}\)       \(\frac{24}{24}\)
angle \(\frac{6}{24} ~de~360°\)       360°

Là, on rigole un peu moins...

\(\frac{6}{24} ~de~360° = \frac{1}{4} \times 360° = 360° \div 4 = 90°\)

\(\frac{3}{24} ~de~360° = la ~moitié~ de~ \frac{6}{24} ~de~360°  = 45°\)

\(\frac{9}{24} ~de~360° =  \frac{6}{24} ~de~360°  + \frac{3}{24} ~de~360° = 135°\)

 Finalement:

 couleur rouge jaune bleu vert  TOTAL
 vote  6 3 9 6 24
proportion  \(\frac{6}{24}\)   \(\frac{3}{24}\)   \(\frac{9}{24}\)  \(\frac{6}{24}\)  \(\frac{24}{24}\)
angle 90° 45°  135° 90° 360°

 

4C:

Là, les calculs se corsent vraiment, on prend la calculatrice:

 couleur rouge jaune bleu vert  TOTAL
 vote  8 5 3 12 28
proportion  \(\frac{8}{28}=\frac{2}{7}\)   \(\frac{5}{28}\)   \(\frac{3}{28}\)  \(\frac{12}{28}=\frac{3}{7}\)  \(\frac{28}{28}\)
angle \(\frac{8}{28} ~de~360°\)       360°

\(\frac{2}{7} ~de~360° = 360° \div 7 \times 2 \approx 103°\)

\(\frac{5}{28} ~de~360° = 360° \div 28 \times 5 \approx 64°\)

\(\frac{3}{28} ~de~360° = 360° \div 28 \times 3 \approx 39°\)

\(\frac{3}{7} ~de~360° = 360° \div 7\times 3 \approx 154°\)

Finalement:

 couleur rouge jaune bleu vert  TOTAL
 vote  8 5 3 12 28
proportion  \(\frac{2}{7}\)   \(\frac{5}{28}\)   \(\frac{3}{28}\)   \(\frac{3}{7}\)  1
angle \(\approx 103°\) \(\approx 64°\)  \(\approx 39°\) \(\approx 154°\) 360°

 

A faire:

Dans les corrections ci-dessus, j'ai utilisé (sans le dire) des techniques de la proportionnalité pour compléter le tableau des 4D.
A partir d'une recette de crêpes, voyons si vous vous en rappelez:

 

Voici une recette pour 6 crêpes (je sais que ce c'est trop peu, que j'oublie des ingrédients et que cette recette est très approximative !):

Pour 6 crêpes, il faut:

  • 120 g de farine
  • 2 oeufs
  • 20 g de beurre
  • 24 cL de lait

 

Compléter ce tableau pour adapter les quantités de cette recette pour 3 crêpes, 12 crêpes, 15 crêpes, 30 crêpes, pour 18 crêpes, pour 1 crêpe, pour 31 crêpes:

nombre de crêpes farine (en g) oeufs beurre (en g) lait (en cL)
6 120 2 20 24
3        
12        
15        
30        
18        
1        
31        

 

Solutions:

On comprend assez facilement que s'il y a 2 fois moins de crêpes à faire, il faudra diviser les quantités par 2:
  • farine: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 120\,g \div 2 = 120\,g \div 2 = 60\,g\)
  • oeufs: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 2\,oeufs \div 2 = 2\,oeufs \div 2 = 1\,oeuf\)
  • beurre: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 20\,g \div 2 = 20\,g \div 2 = 10\,g\)
  • lait: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 24\,cL \div 2 = 24\,cL \div 2 = 12\,cL\)
On comprend assez facilement que s'il y a 2 fois plus de crêpes à faire, il faudra multiplier les quantités par 2:
  • farine: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 120\,g \times 2 = 240\,g\)
  • oeufs: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 2\,oeufs \times 2 = 4\,oeufs\)
  • beurre: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 20\,g \times 2 = 40\,g\)
  • lait: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 24\,cL \times 2 = 48\,cL\)
C'est compliqué de passer de la recette pour 6 à la recette pour 15: par combien multiplier les quantités ??
On peut par contre se dire qu'en ajoutant les quantités pour 3 crêpes aux quantités pour 12 crêpes, on aura bien de quoi faire en faire 15.
  • farine: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 240\,g + 60\,g  = 300\,g\)
  • oeufs: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 4\,oeufs +  1\,oeuf = 5\,oeufs\)
  • beurre: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 40\,g + 10\,g = 50\,g\)
  • lait: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 48\,cL + 12\,cL = 60\,cL\)
On peut par exemple repartir des quantités pour 6 crêpes et les multiplier par 5, ou bien repartir des quantités pour 15 crêpes et les multiplier par 2.
  • farine: \(600\,g\)
  • oeufs: \(10\,oeuf\)
  • beurre: \(100\,g\)
  • lait: \(120\,cL\)
On a l'embarras du choix !
On peut partir des quantités pour 6 crêpes et les multiplier par 3.
On peut partir des quantités pour 3 crêpes et les multiplier par 6.
On peut partir des quantités pour 15 et 3 crêpes et les additionner.
On peut partir des quantités pour 30 et 12 crêpes et les soustraire.
  • farine: \(360\,g\)
  • oeufs: \(6\,oeuf\)
  • beurre: \(60\,g\)
  • lait: \(72\,cL\)
On peut partir des quantité pour 3 crêpes et les diviser par 3 (ce qui pose problème pour les oeufs, et dans une moindre mesure pour le beurre).
  • farine: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 60\,g \div 3 = 20\,g\)
  • oeufs: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 1\,oeuf \div 3\)
    → on répondra \(\frac{1}{3}\) si on reste dans un problème de math (révolution !)
    → on devra choisir entre 0 et 1 oeuf si on doit faire la cuisine (je vous le dis tout de suite, sans oeuf, on ne parle plus de crêpe ! Mais QUI fait UNE crêpe ?)
  • beurre: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 10\,g \div 3\)
    → on répondra \(\frac{10}{3}\) si on reste dans un problème de math
    → on devra poser la division puis arrondir le résultat pour faire la cuisine: \(3\,g\)
  • lait: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 12\,cL \div 3 = 4\,cL\)
Par contre, une fois qu'on connait les quantité pour 1 crêpe, il devient très facile d'adapter la recette à n'importe quel nombre de crêpes. C'est ce qu'on appelle la méthode du "passage par l'unité".
On peut multiplier par 31 les quantités pour 1 crêpe ou bien additionner les quantités pour 30 crêpes et pour 1 crêpe.
  • farine: \(620\,g\)
  • oeufs: \(\approx 10\,oeufs\)  (\(\frac{11}{3}\) pour les puristes et les profs de math)
  • beurre: \(\approx 103 \,g\)  (\(\frac{310}{3}\) pour les fous du dessus)
  • lait: \(124\,cL\)
Bon, c'était purement une question de professeur de math...

Grâce à cette petite étude de la recette des crêpes, nous avons fait le tour de (presque) toutes les méthodes utilisables dans une situation de proportionnalité.

Il reste la méthode dite "de la quatrième proportionnelle" souvent appelée abusivement "produit en croix" et que nous verrons à la prochaine séance.
→ Merci aux parents de ne pas nous spoiler !!! Pour information, la méthode du passage par l'unité est équivalente...