6èmes - Lundi 11 mai: proportionnalité
Résumé de la séance:
- vérifier si une situation est une situation de proportionnalité
Correction:
\(1~pomelo \xrightarrow[]{~~\times 1,5 ~~~~} 1,5\)
mais \(3~pomelos \xrightarrow[]{~~\times 1,5 ~~~~} 4,5 ~~\neq 4\)
On ne peut donc pas dire qu'il existe un nombre par lequel on peut TOUJOURS multiplier le nombre de pomelos pour trouver le prix à payer.
Il n'y a pas proportionnalité entre le nombre de pomelos et le prix à payer.
C'est assez classique lorsqu'il y a une promotion: plus vous achetez de produits, plus le vendeur baisse le prix par article.
Avec la promotion de l'exercice, quand vous achetez 3 pomelos, ils reviennent chacun à \(4€ \div 3 \approx 1,33€\) au lieu de \(1,50€\).
Cherchons un nombre par lequel multiplier la distance parcourue pour trouver le temps de course correspondant:
\(temps~de~course \xrightarrow[]{~~\times ... ~~~~} distance~ parcourue\)
\(5 \xrightarrow[]{~~\times ... ~~~~} 10\) on trouve 2 en calculant: \(10 \div 5\)
\(10 \xrightarrow[]{~~\times ... ~~~~} 20\) on trouve 2 en calculant: \(20 \div 10\)
\(15 \xrightarrow[]{~~\times ... ~~~~} 30\) on trouve 2 en calculant: \(30 \div 15\)
\(25 \xrightarrow[]{~~\times ... ~~~~} 60\) on trouve 2,4 en calculant: \(60 \div 25\)
Sans la dernière colonne, on aurait pu dire qu'il suffisait de toujours multiplier le nombre de kilomètres par 2 pour trouver le nombre de minutes mais on voit que cela ne fonctionne pas pour 25km, il aurait fallut que le temps de course soit 50 minutes au lieu de 60...
Finalement, ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité: le temps de course et la distance parcourue ne sont pas proportionnels dans cet exercice.
La photo 1 est la photo originale.
1) Les copies qui semblent bien proportionnées sont: la 4 et la 5.
Sur la photo 2, les vaches paraissent trop larges et sur la 3 elles paraissent étirées en hauteur. Bref, elles sont déformées.
2) Je ne peux malheureusement pas mesurer les photos sur mon livre puisqu'il est resté au collège depuis le début du confinement... Mais logiquement, lorsque vous divisez la longueur d'une photo par sa largeur, vous devriez trouver le même résultat pour les photos 1, 4 et 5. Vous devriez trouver un rapport plus grand pour la photo 2 et plus petit pour la 3.
Ces nombres représentent:
- le "rapport entre la largeur et la longueur",
- ou encore: "par combien multiplier la largeur pour obtenir la longueur".
Lorsque ce nombre est le même, on peut parler de proportionnalité entre la largeur et la longueur. C'est pour ça que "ça conserve les proportions".
C'est le même principe lorsqu'on parle d'une télévision 16/9 (ou 4/3, peut être en avez vous encore).
16/9 signifie que pour votre TV: \(\frac{longueur~ de~ la~ TV}{largeur~ de~ la~ TV} \approx \frac{16}{9}\) →vérifiez chez vous !
\(largeur ~TV \xrightarrow[]{~~\times \frac{16}{9} ~~~~} longueurTV\)
Si toutes les TV ont les mêmes proportions \(\frac{longueur}{largeur} \), cela garantit que la photo des vaches ne sera pas déformée, même si vous n'avez pas tous une TV de la même taille !
Pour l'exercice 2, on aurait pu corriger ainsi: \(\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{30}{15} ~\neq \frac{60}{25}\)
| masse de cassonade (kg) | 2 | 8 |
| prix (€) | 3 | ? |
Si on part du principe que le prix est proportionnel à la masse, cela revient à dire que le prix par kg ne change pas en fonction de la quantité qu'on achète.
Dans ce cas, on peut calculer le prix de 8kg.
En revanche, si on considère qu'il n'y pas de raison d'être dans une situation de proportionnalité, on ne peut tout simplement pas répondre à la question !
(ce serait le cas s'il y a une promotion quand vous achetez plus de 2kg, ou pire si le prix au kg augmente, certain magasins le font...)
Soyons raisonnables: comme nous voulons faire des math, on va considérer qu'il y a proportionnalité !
Dans ce cas on a plusieurs techniques:
- Trouver le prix pour 1 kg puis partir du principe que 8kg coûtent 8 fois plus cher que 1kg.
(cela revient à utiliser la technique du "passage par l'unité" ou tout simplement à trouver le coefficient de proportionnalité)
Calculs:
\(3€ \div 2 \,kg = 1,5 \,€/kg \) (j'ai mis les unités dans les calculs pour être clair et pour faire apparaitre que le "1,5" est le "prix par kg" mais vous pouvez garder mon conseil habituel et ne pas mettre les unités dans le calcul)
\(1,5\,€/kg \times 8\,kg = 12€\) - Partir du principe que comme \(8\,kg\) c'est 4 fois plus que \(2\,kg\), ça doit coûter 4 fois plus cher.
(technique de la multiplication d'une colonne, cela revient un peu à ce qu'on a vu avec les fraction: "multiplier en haut et en bas par un même nombre")
Calculs:
\(8\,kg \div 2\,kg = 4\) (pour trouver le \(\times4\) de mon explication)
\(3€ \times 4 = 12€\)
Bien sûr, on trouve le même résultat avec toutes les techniques. Vous pouvez même remarquer qu'on a fait les mêmes opérations mais dans un ordre différent:
\((3 \div 2) \times 8\)
\((8 \div 2) \times 3\)
et vos parents n'ont pas encore le droit de vous dire qu'on aurait obtenu la même chose avec \((8 \times 3) \div 2\) !! ;-)
Si vous vous rappelez, cela revient au différentes façon de calculer \(3 \times \frac{8}{2}\) ...
| âge de Celia (ans) | 1 | 2 |
| taille de Célia (cm) | 65 | ? |
On ne peut pas répondre à cette question: il y a bien un rapport entre la taille et l'âge de Célia, mais il n'existe pas de calcul fonctionnant pour tout le monde pour passer de l'âge à la taille.
En particulier, il n'y a surtout pas proportionnalité entre ces deux grandeurs. Imaginez donc son âge à 10 ans si je multiplie sa taille à 1 an par 10 !!!
| nombre de tomes | 15 | 9 | ? |
| prix (€) | 105 | ? | 161 |
Il s'agit de compléter ce tableau...
Une phrase du texte nous permet d'affirmer qu'il y a bien proportionnalité entre le nombre de tomes et le prix: "chaque tome de cette série est au même prix". Le prix par tome ne change pas en fonction de la quantité achetée (pas de promotion pour un lot !).
Plusieurs techniques s'offrent à nous. Ici, clairement, l'idéal est de trouver le prix d'1 tome.
\(105€ \div 15\,tomes = 7 \,€/tome\)
C'est le coefficient de proportionnalité du tableau: on peut multiplier le nombre de tomes désirés par 7 pour trouver le prix à payer.
Inversement, pour passer du prix au nombre de tomes correspondant, on fait l'opération inverse: on divise par 7.
On trouve:
\(9\,tomes \times 7\,€/tome = 63 €\)
\(161€ \div 7\,€/tome = 23\,tomes\)
| nombre de tomes | 15 | 9 | 23 |
| prix (€) | 105 | 63 | 161 |
A faire:
4 p94 âge en "années de chat"
6 p94 âge et taille
7 p94 le voilà l'exercice sur le robinet !!! (vos parents comprendront...)