6èmes - Jeudi 30 mars ~ Mardi 05 mai: proportionnalité
Rédigé par Julien Daury
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Classé dans : CdT 6emes
Résumé de la séance:
Je suis bien embêté pour la suite car j'aurais voulu alterner avec de la géométrie mais je préfèrerais essayer d'attendre que l'on se revoit pour aborder les angles, la symétrie axiale et la perspective cavalière...Je passe donc à la proportionnalité:
- recette de cuisine
Voici une recette pour 6 crêpes (je sais que ce c'est trop peu, que j'oublie des ingrédients et que cette recette est très approximative !):
Pour 6 crêpes, il faut:
- 120 g de farine
- 2 oeufs
- 20 g de beurre
- 24 cL de lait
Compléter ce tableau pour adapter les quantités de cette recette pour 3 crêpes, 12 crêpes, 15 crêpes, 30 crêpes, pour 18 crêpes, pour 1 crêpe, pour 31 crêpes:
| nombre de crêpes | farine (en g) | oeufs | beurre (en g) | lait (en cL) |
| 6 | 120 | 2 | 20 | 24 |
| 3 | ||||
| 12 | ||||
| 15 | ||||
| 30 | ||||
| 18 | ||||
| 1 | ||||
| 31 |
Solutions:
On comprend assez facilement que s'il y a 2 fois moins de crêpes à faire, il faudra diviser les quantités par 2:
- farine: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 120\,g \div 2 = 120\,g \div 2 = 60\,g\)
- oeufs: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 2\,oeufs \div 2 = 2\,oeufs \div 2 = 1\,oeuf\)
- beurre: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 20\,g \div 2 = 20\,g \div 2 = 10\,g\)
- lait: \(quantité~ pour~ 6 \div 2 = 24\,cL \div 2 = 24\,cL \div 2 = 12\,cL\)
On comprend assez facilement que s'il y a 2 fois plus de crêpes à faire, il faudra multiplier les quantités par 2:
- farine: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 120\,g \times 2 = 240\,g\)
- oeufs: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 2\,oeufs \times 2 = 4\,oeufs\)
- beurre: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 20\,g \times 2 = 40\,g\)
- lait: \(quantité~ pour~ 6 \times 2 = 24\,cL \times 2 = 48\,cL\)
C'est compliqué de passer de la recette pour 6 à la recette pour 15: par combien multiplier les quantités ??
On peut par contre se dire qu'en ajoutant les quantités pour 3 crêpes aux quantités pour 12 crêpes, on aura bien de quoi faire en faire 15.
On peut par contre se dire qu'en ajoutant les quantités pour 3 crêpes aux quantités pour 12 crêpes, on aura bien de quoi faire en faire 15.
- farine: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 240\,g + 60\,g = 300\,g\)
- oeufs: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 4\,oeufs + 1\,oeuf = 5\,oeufs\)
- beurre: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 40\,g + 10\,g = 50\,g\)
- lait: \(quantité~ pour~ 12 + quantité~ pour~ 3 = 48\,cL + 12\,cL = 60\,cL\)
On peut par exemple repartir des quantités pour 6 crêpes et les multiplier par 5, ou bien repartir des quantités pour 15 crêpes et les multiplier par 2.
- farine: \(600\,g\)
- oeufs: \(10\,oeuf\)
- beurre: \(100\,g\)
- lait: \(120\,cL\)
On a l'embarras du choix !
On peut partir des quantités pour 6 crêpes et les multiplier par 3.
On peut partir des quantités pour 3 crêpes et les multiplier par 6.
On peut partir des quantités pour 15 et 3 crêpes et les additionner.
On peut partir des quantités pour 30 et 12 crêpes et les soustraire.
On peut partir des quantités pour 6 crêpes et les multiplier par 3.
On peut partir des quantités pour 3 crêpes et les multiplier par 6.
On peut partir des quantités pour 15 et 3 crêpes et les additionner.
On peut partir des quantités pour 30 et 12 crêpes et les soustraire.
- farine: \(360\,g\)
- oeufs: \(6\,oeuf\)
- beurre: \(60\,g\)
- lait: \(72\,cL\)
On peut partir des quantité pour 3 crêpes et les diviser par 3 (ce qui pose problème pour les oeufs, et dans une moindre mesure pour le beurre).
- farine: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 60\,g \div 3 = 20\,g\)
- oeufs: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 1\,oeuf \div 3\)
→ on répondra \(\frac{1}{3}\) si on reste dans un problème de math (révolution !)
→ on devra choisir entre 0 et 1 oeuf si on doit faire la cuisine (je vous le dis tout de suite, sans oeuf, on ne parle plus de crêpe ! Mais QUI fait UNE crêpe ?) - beurre: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 10\,g \div 3\)
→ on répondra \(\frac{10}{3}\) si on reste dans un problème de math
→ on devra poser la division puis arrondir le résultat pour faire la cuisine: \(3\,g\) - lait: \(quantité~ pour~ 3 \div 3 = 12\,cL \div 3 = 4\,cL\)
On peut multiplier par 31 les quantités pour 1 crêpe ou bien additionner les quantités pour 30 crêpes et pour 1 crêpe.
- farine: \(620\,g\)
- oeufs: \(\approx 10\,oeufs\) (\(\frac{11}{3}\) pour les puristes et les profs de math)
- beurre: \(\approx 103 \,g\) (\(\frac{310}{3}\) pour les fous du dessus)
- lait: \(124\,cL\)
Grâce à cette petite étude de la recette des crêpes, nous avons fait le tour de (presque) toutes les méthodes utilisables dans une situation de proportionnalité.
Il reste la méthode dite "de la quatrième proportionnelle" souvent appelée abusivement "produit en croix" et que vous ne verrez qu'en 4ème.
→ Merci aux parents de ne pas aller trop vite !!! Pour information, la méthode du passage par l'unité est équivalente...
→ Merci aux parents de ne pas aller trop vite !!! Pour information, la méthode du passage par l'unité est équivalente...
Mais qu'est-ce qu'une situation de proportionnalité ?
On parle de proportionnalité quand:
- plusieurs grandeurs évoluent
- et qu'on peut calculer une grandeur en multipliant l'autre par un nombre qui ne change pas. Ce nombre s'appelle alors le coefficient de proportionnalité.
Par exemple, dans notre recette de crêpes:
- On peut dire que la quantité de farine est proportionnelle au nombre de crêpes:
on peut toujours multipler le nombre de crêpes par 20 pour trouver le nombre de grammes de farine nécessaires. - On peut dire que la quantité de lait est proportionnelle au nombre de crêpes:
on peut toujours multipler le nombre de crêpes par 4 pour trouver le nombre de centilitres de lait nécessaires. - On peut dire que la quantité de farine est proportionnelle à la quantité de lait:
on peut toujours multipler le nombre de centilitres de lait par 5 pour trouver le nombre de grammes de farine necéssaires. - etc ...
Mais peut on utiliser ces techniques dans n'importe quel problème ou existe-t-il des situations qui n'ont rien à voir avec la proportionnalité ?
→ allez voir cet article (un indice s'est glissé dans son titre...)