journal des 3èmes: jeudi 9 avril
Résumé de la séance:
- correction (section d'un solide, calculs de longueurs dans ces sections, comparaison de volumes)
- rappel sur la notion d'agrandissement/réduction
- effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les aires et les volumes
Correction:
30 p247 section d'un cylindre par un plan (perpendiculiare à la base)
1. Comme le plan de coupe est perpendiculaire à la base, la section du cylindre est un rectangle.
2. Le disque dessiné correspond au cylindre vu de dessus. De ce point de vue, [AC] est la largeur de la section.
a.
OC = OA = 4 cm ( [OC] et [OA] sont des rayons de la base du cylindre)
OB = 2 cm (car "on coupe le cylindre par un plan [...] à 2 cm du centre du disque")
b.
BC se calcule à l'aide du théorème de Pythagore dans OBC qui est rectangle en B:
OC² = OB² + BC²
4² = 2² + BC²
16 = 4 + BC²
on obtient \(BC = \sqrt{12} \approx 3,5\)
c.
(Le plus dur est fait !)
\(AC = 2\times BC = 2\times \sqrt{12} \approx 6,9 \) (attention de ne pas reprendre la valeur approchée de la question précédente mais bien de repartir de la valeur exacte ! Sinon vous avez dû trouver 7 cm...)
3.
La section est donc un rectangle de 7 cm par \(2 \sqrt{12}\) si on veut être précis (on prendra une largeur de 6,9 cm pour le tracer).
Son aire est donc de \(7\times 2 \sqrt{12} = 17 \times \sqrt{12} \approx 48,5\) .
L'aire est de \(48,5 \,cm^2\) environ (si vous avez trouvé 49 cm², c'est bien !).
31 p247 section d'une pyramide par un plan (parallèle à la base)
1.
SOA est un triangle rectangle en O avec SO = 8 cm (hauteur de la pyramide) et OA = 2,5 cm (la moitié de AC).
Il faut placer P sur [SO] à 6 cm de S et trouver A' sur [SA] en traçant la parallèle à (OA) qui passe par P.
2.
Nous avons toutes les conditions réunies dans SOA pour utiliser le théorème de Thalès et obtenir:
\(\frac{SP}{SO}=\frac{PA'}{OA}\)
\(\frac{6}{8}=\frac{PA'}{2,5}\)
puis: \(PA' = 6 \times 2,5 \div 8 = 1,875\)
3.
La section de la pyramide par ce plan est un carré (le plan est parallèle à la base donc la section est une réduction de la base). La question précédente nous a permis de trouver la moitié de la longueur de ses diagonales.
Il faut donc tracer:
Tracer [AC] avec AC = 3,75 cm (arrondissez à 3,7 ou 3,8 !)
Tracer [BD], perpendiculaire à [AC], passant par son milieu et de même longueur (peut être facilité en traçant le cercle de diamètre [AC])
34 p247 promotion sur le demi-cocktail
Le verre est un cône. La quantité de liquide contenu dans ce verre correspond à la capacité de celui-ci.
Pour le verre rempli à mi-hauteur, le piège est de croire qu'on a la moitié de la quantité du verre plein alors qu'on en a beaucoup moins !
La quantité de liquide du second verre correspond à la capacité d'un cône ayabt des dimensions 2 fois plus petites: pour la hauteur mais aussi pour le rayon de sa base (proportionnalité des longueurs). Ce qui donne:
\( \cal Volume_{~verre~plein} = \frac{1}{3}~\pi\,r^2 \times h\)
\(\begin{align*} \cal Volume_{~demi-verre} &= \frac{1}{3}~ \pi \times (\frac{r}{2})^2 \times \frac{h}{2} \\ &=\frac{1}{3}~ \pi \times \frac{r^2}{2^2} \times \frac{h}{2} \\&=\frac{1}{3}~\pi \times \frac{r^2}{4} \times \frac{h}{2} \\&= \frac{1}{8} \times \frac{1}{3}~\pi\,r^2 \times h\\ &= \cal \frac{1}{8} ~Volume_{~verre~plein} \end{align*}\)
La promotion ne porte donc pas sur un demi-verre mais sur \(\frac{1}{8}\) de verre !!! Le tarif n'est donc pas si intéressant que ça (même si la publicité n'est pas mensongère: "verre rempli à mi-hauteur").
Nous n'aurions pas eu le même effet avec un verre cylindrique (pour lequel la hauteur seule aurait été divisé par 2, pas le rayon de la base).
On peut aussi (sans la précision du calcul) comprendre que la "moitiéé du haut est beaucoup plus large que la "moitié" du bas dans notre verre conique.
Cet exercice pouvait se résoudre beaucoup plus vite avec la notion d'agrandissement-réduction que je présente dans la suite de cette séance.
Avec elle on aurait simplement dit:
"Comme le second verre est une réduction du premier avec un rapport de \(\frac{1}{2}\), son volume vaut \(\frac{1}{8}\) du premier ( \((\frac{1}{2})^3\)).
Si son prix était proportionnel à la quantité de jus de fruit, il serait de \(\frac{1}{8}\times 3\,€ = 0,375\,€\)."
Notion d'agrandissement-réduction et effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les aires et les volumes:
A faire:
32p247 en essayant d'utiliser la notion de réduction (calcul du rapport pour trouve le volume du petit cône)
QCM: 39 et 40 p248 (corrigés dans le livre)
54 p249