3ème OG5 Notion de fonction: principe, définition, vocabulaire et notations
Image de la boite noire:
On lui donne un nombre en entrée, elle nous ressort un nombre en sortie.
Pour expliquer ce qui se passe dans cette boite (comment on trouve le nombre de sortie en fonction du nombre de départ), on peut décrire le procédé par:
- une phrase (ex: la boite indique la puissance produite par une éolienne en fonction de la vitesse du vent)
- un programme de calcul (ex: elle met le nombre de départ au carré)
- une expression (ou formule) (ex: \(x^2\))
- un tableau de valeurs (avec une ligne pour les nombres des nombres de départ et une autre pour les nombres de sortie correspondants)
- un graphique (les coordonnées des points de la courbe permettent de relier des valeurs en abscisse à des valeurs en ordonnée)
Pour un nombre d'entrée, il ne peut y avoir qu'un nombre de sortie (on l'appelle son image). Par contre plusieurs nombres de départ peuvent aboutir au même nombre d'arrivée (on les appelle ses antécédents)
Notations et vocabulaire:
Cette boite noire s'appelle une fonction et on peut lui donner un nom, par exemple f.
- Si on écrit \(f(3)=5\), cela signifie que pour le nombre 3, la fonction f nous donne 5.
On dit alors que l'image de 3 par la fonction f est 5 et que 3 est un antécédent de 5 par la fonction f.
Définition:
Une fonction est un objet mathématique qui permet de relier des nombres, on dit qu'à certains nombres elle en associe d'autres (leurs images).
- Par une fonction, un nombre peut avoir une image ou aucune.
- En revanche, plusieurs nombres peuvent avoir la même image. On les appelle alors ses antécédents.
exemple: imaginons une fonction qui à une heure de la journée associe la température extérieure
→ A une certaine heure correspond une seule température. Par exemple si à midi il fait 25°C, on dira que "l'image de 12 est 25" et que "12 est un antécédent de 25".
→ En revanche, il peut y avoir plusieurs heures où il fait la même température. Si il fait également 25°C à 18h, on pourra alors dire que 18 est un autre antécédent de 25.
notations:
\(x \mapsto x-7\) se lit "la fonction qui à un nombre \(x\) associe le nombre \(x-7\)"
\(f:x \mapsto x-7\) se lit "\(f\) est la fonction qui à un nombre \(x\) associe le nombre \(x-7\)"
\(f(x)=x-7\) se lit "l'image du nombre \(x\) par la fonction \(f\) est le nombre \(x-7\)"
Si on "décortique":
- \(f\) est le nom de la fonction
- \(x \mapsto x-7\) est la fonction elle-même ( \(x-7\) est son expression)
- \(f(x)\) est un nombre, l'image de \(x\) par \(f\)
Les phrases suivantes sont équivalentes:
- \(f(3)=5\)
- l'image de 3 par la fonction \(f\) est 5
- 3 est un antécédent de 5 par la fonction \(f\)