journal des 3èmes: jeudi 2 avril
Résumé de la séance:
- correction du 52 p211
- formule de volume d'une boule (et rappels sur les autres formules)
Correction:
52 p211
- \(\left \{ \begin{matrix} I, H ~et~ M~ sont~ align\acute es~~~~~~~~~~\\ I,~K~et~L ~sont~aussi~align\acute es\\ et~(HK) // (ML) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{matrix} \right. \)
donc d'après le théorème de Thalès:
\( \frac{IH}{IM} = \frac{IK}{IL} =\frac{HK}{ML} \)
En remplaçant les valeurs qu'on connait, on obtient: \( \frac{IH}{IH+3,2} = \frac{2,5}{4,5} =\frac{HK}{ML} \) (le codage permet de trouver IL, regardez bien !)
On trouve donc avec le produit en croix sur la première égalité de fractions: \( IH \times 4,5 = 2,5 \times (IH + 3,2) \)
(c'est une équation à résoudre !)
\( 4,5 \,IH = 2,5 \times (IH + 3,2) \)
\( 4,5 \,IH = 2,5 \,IH + 8 \) après avoir développé le membre de droite
\( 2 \,IH = 8 \) après avoir soustrait 2,5 IH de chaque côté
\( IH = 4 \) après avoir divisé par 2 de chaque côté
réponse: \( IH = 4 \,cm\) - GIH est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore:
\(GI² = GH² + HI² \)
\(GI² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25\)
donc \(GI = \sqrt{25} = 5 \) - Il faut d'abord prouver que (GH)//(JK) avant de pouvoir utiliser le théorème de Thalès !
D'une part: \( \frac{GI}{IK} = \frac{5}{2,5}= 2\)
D'autre part \( \frac{HI}{IJ} = \frac{4}{2} = 2\)
Donc, finalement \(\left \{ \begin{matrix} G, I ~et~ K~ sont~ align\acute es ~dans~le~m\hat e me~ordre~ que~ H,~I~et~J\\ et~\frac{GI}{IK} =\frac{HI}{IJ} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{matrix} \right. \) donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (GH) // (JK).
\(\left \{ \begin{matrix} G, I ~et~ K~ sont~ align\acute es~~~~~~~~~~\\ H,~I~et~J ~sont~aussi~align\acute es\\ et~(GH) // (JK) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{matrix} \right. \)
donc d'après le théorème de Thalès:
\( \frac{GH}{JK} = \frac{HI}{IJ} \)
On obtient: \( \frac{3}{JK} = \frac{4}{2} \) et donc \( JK = 3 \times 2 \div 4 = 1,5 \) -
D'une part: \( IK² = 2,5² = 6,25\)
D'autre part \( IJ²+JK²=2²+1,5² = 4+2,25=6,25\)
Donc \( IK² = IJ²+JK²\), comme l'égalité de Pythagore est vérifiée, IJK est rectangle en J.
Les droites (IJ) et (JK) sont donc bien perpendiculaires. - Comme \( (JK) \perp (MJ) \) et \( (GH) \perp (MJ) \), (JK) et (GH) sont bien parallèles (puisqu'elles sont perpendiculaires à la même droite).
Nouveau chapitre: Aire d'une sphère, Volume d'une boule
petite précision:
La sphère est à la boule ce que le cercle est au disque.
La sphère et le cercle sont des limites.
L'intérieur d'un cercle s'appelle un disque, l'intérieur d'une sphère s'appelle une boule.
Pour être encore plus précis:
- Sur un plan:
- définition du cercle de centre O et de rayon 3cm: ensemble de tous les points situés exactement à 3 cm de O.
- définition du disque de centre O et de rayon 3cm: ensemble de tous les points situés à moins de 3 cm de O.
- Dans l'espace:
- définition de la sphère de centre O et de rayon 3cm: ensemble de tous les points situés exactement à 3 cm de O.
- définition de la boule de centre O et de rayon 3cm: ensemble de tous les points situés à moins de 3 cm de O.
voir le formulaire sur les aires et les volumes (formules pour les sphères et les boules tout à la fin)
A faire:
exercice en ligne de conversion d'unité de volume
1 p242 application des formules (aire d'une sphère, volume d'une boule)
2 p242 calcul de longueurs dans l'espace